Biblioteca antroposofică


Rudolf Steiner

A PATRA DIMENSIUNE

GA 324a


DESPRE SPAŢIUL MULTIDIMENSIONAL

Berlin, 22 octombrie 1908

Subiectul de astăzi ne va confrunta cu unele dificultăţi şi această conferinţă ţinută la cerera dumneavoastră trebuie s-o consideraţi ca fiind un episod dintr-o serie. Dacă se urmăreşte o înţelegere profundă a subiectului, chiar şi la un nivel formal, sunt necesare unele cunoştinţe matematice. Dar cuprinderea subiectului în toată realitatea sa cere o pătrundere adâncă în esoterism. Astăzi vom fi în stare să ne referim la acest aspect în mod foarte superficial, oferind doar un stimul pentru unii dintre dumneavoastră.

Este foarte dificil să vorbim despre dimensiuni superioare deoarece pentru a ne forma prin reprezentare o părere despre ceva mai mult decât cele trei dimensiuni obişnuite trebuie să intrăm în domenii abstracte, iar aici trebuie să cuprindem conceptele noastre în mod foarte precis şi strict, altfel ajungem la ceva fără fundament. Aceasta a fost soarta multor oameni pe care îi cunoaştem, atât prieteni cât şi inamici.

Conceptul spaţiului multidimensional nu este atât de străin matematicienilor pe cât se crede în general ( Nota 67 ). Matematicienii fac deja calcule implicând operaţii pluridimensionale. Desigur, matematicienii pot vorbi despre spaţii pluridimensionale numai într-o măsură foarte limitată; în mod esenţial ei pot discuta numai despre posibilitatea existenţei lor. A determina dacă asemenea spaţiu este real sau nu trebuie lăsat în seama celor care pot privi în el. Aici avem de-a face numai cu concepte pure care dacă sunt precis înţelese vor clarifica într-adevăr conceptul nostru de spaţiu.

Ce este spaţiul? În mod obişnuit noi spunem că spaţiul este în jurul nostru, că noi umblăm prin spaţiu şi aşa mai departe. Cel care vrea să aibă o reprezentare mai clară despre spaţiu trebuie să pătrundă anumite abstracţiuni. Noi numim spaţiul în care ne mişcăm tridimensional. Se extinde în sus şi în jos, spre dreapta şi spre stânga, în faţă şi în spate. Când ne uităm la obiecte le vedem extinzându-se în spaţiul tridimensional, adică posedând o anumită lungime, lăţime şi înălţime.

Trebuie însă să ne ocupăm de detaliile conceptului de spaţiu, dacă dorim să dobândim un concept mai precis. Să ne uităm la cea mai simplă formă solidă, cubul. El ne arată în modul cel mai clar ce este lungimea, lăţimea şi înălţimea. Lungimea şi laţimea feţei de bază a cubului sunt egale. Când ridicăm această suprafaţă până când înălţimea sa deasupra poziţiei iniţiale este aceeaşi cu lungimea şi lăţimea, obţinem un cub, adică o figură tridimensională. Cu ajutorul cubului ne putem informa în modul cel mai clar cu privire la detaliile unei formaţiuni tridimensionale. Când examinăm frontierele unui cub găsim că ele constau în suprafeţe plane legate prin laturi de lungimi egale. Un cub are şase asemenea suprafeţe plane.

Ce este o suprafaţă plană? În acest punct, cei incapabili de abstracţiuni extreme vor începe să se poticnească. De exemplu, este imposibil să separăm prin tăiere una din feţele unui cub de ceară sub forma unui strat foarte subţire de ceară, pentru că am obţine întotdeauna un strat cu o anumită grosime ‒ adică un obiect solid. Nu putem ajunge la graniţa cubului în acest fel. Frontiera sa reală are numai lungime şi lăţime, dar nu are grosime. Astfel ajungem la propoziţia formală: o suprafaţă plană este frontiera unei figuri tridimensionale căreia îi lipseşte o dimensiune.

Care este atunci frontiera unei suprafeţe plane cum este un pătrat? Din nou, definiţia cere cel mai înalt grad de abstractizare. Frontiera unei figuri plane este o linie care are doar o dimensiune, lungimea. Lăţimea a fost eliminată. Care este limita unui segment de dreaptă? Este un punct care nu are nicio dimensiune. Astfel noi eliminăm întotdeauna o dimensiune pentru a găsi limita unei formaţiuni geometrice.

Să urmăm şirul gândurilor a numeroşi matematicieni, inclusiv Riemann, care a făcut în acest domeniu o muncă excepţională ( Nota 68 ). Să considerăm un punct, care nu are nicio dimensiune; o linie, care are una; un plan, care are două; şi un obiect solid, care are trei. La un nivel pur tehnic, matematicienii se întreabă dacă este posibil să mai adăugăm o a patra dimensiune. Dacă ar fi aşa, limita unei figuri cvadridimensionale ar trebui să fie o figură tridimensională, aşa cum un plan este limita unui corp solid, o linie limita unui plan şi un punct limita unei linii. Desigur, matematicienii pot trece la considerarea formaţiunilor cu cinci, şase, şapte sau chiar n dimensiuni, unde n este un număr întreg pozitiv.

În acest punct apare o anumită neclaritate atunci când spunem că un punct nu are nicio dimensiune, o linie una şi un plan două, iar un obiect solid trei. Putem face obiecte solide, cum sunt cuburile, din orice material ‒ ceară, argint, aur şi aşa mai departe. Materialele sunt diferite, dar dacă le facem de aceeaşi mărime fiecare ocupă acelaşi volum în spaţiu. Dacă eliminăm apoi toate aceste materii pe care le conţin aceste cuburi rămânem doar cu anumite segmente specifice din spaţiu, imaginile spaţiale ale cubului. Aceste segmente de spaţiu sunt de aceeaşi dimensiune pentru toate cuburile, indiferent de materialul din care sunt făcute, şi au toate lungime, lăţime şi înălţime. Putem imagina asemenea spaţii cubice extinzându-se spre infinit, rezultând astfel spaţiul infinit tridimensional. Obiectul material este numai un segment al acestui spaţiu.

Următoarea întrebare este dacă putem extinde astfel de evaluări conceptuale, care, plecând de la spaţiu, să poată fi extinse la realităţi superioare? De fapt, matematicianul calculează numai în cazul unor astfel de evaluări; asemenea consideraţii includ numai numere. Este permis acest lucru? Aşa cum vă voi arăta, folosirea numerelor pentru a calcula mărimile spaţiului poate da naştere la o mare confuzie. De ce? Va fi suficient să vă spun un singur lucru. Imaginaţi-vă că aveţi o figură pătrată. Eu pot întinde această figură plană spre două direcţii, până când ajungem la o figură plană care se extinde la infinit între două linii (figura 56).

figura 56

Pentru că această figură plană este extinsă la infinit, mărimea sa este infinită (∞). Acum să presupunem că alţi oameni aud că zona cuprinsă între aceste două linii este infinit de mare. În mod firesc, aceşti oameni se gândesc la infinitate. Dar, dacă le vorbiţi de infinitate, ei pot să-şi facă, în anumite condiţii, reprezentări total greşite despre ceea ce vreţi să spuneţi. Să presupunem că adaug un pătrat la fiecare din cele existente, adică un al doilea rând de infinit de multe pătrate. Rezultatul este din nou infinitatea, dar o infinitate diferită care este exact de două ori mai mare decât prima (figura 57). Prin urmare, ∞ = 2∞.

În acelaşi fel pot să ajung şi la ∞ = 3∞. În calculul cu numere, infinitul poate fi folosit la fel de uşor ca orice alt număr finit. Pe cât este de adevărat că în primul caz spaţiul este infinit, la fel de adevărat este că ulterior el este 2∞, 3∞ şi aşa mai departe. Aşadar, aici noi lucrăm potrivit numerelor.

figura 57

Vedeţi cum conceptul spaţiului infinit legat de o abordare numerică nu ne dă nicio posibilitate de a pătrunde mai adânc în realităţile superioare. Numerele nu au de fapt nicio legătură cu spaţiul, ca şi boabele de mazăre sau orice alte obiecte. A calcula nu schimbă întru nimic realitatea. Dacă avem trei boabe de mazăre, multiplicarea nu poate schimba acest fapt chiar dacă multiplicăm corect. Calculând că 3x3 = 9 nu vom obţine nouă boabe de mazăre. Simpla gândire nu schimbă nimic în asemenea cazuri, iar calculele numerice sunt simplă gândire. Am rămas cu trei boabe de mazăre, şi nu cu nouă, chiar dacă am făcut multiplicarea corect. La fel, deşi matematicienii fac astfel de calcule referitoare la două, trei, patru sau cinci dimensiuni, spaţiul cu care ne confruntăm este numai tridimensional. Sunt sigur că puteţi fi ispitiţi de asemenea consideraţii matematice, dar ele dovedesc doar că este posibil să facem calcule privitor la spaţii cu mai multe dimensiuni. Matematica nu poate dovedi de fapt că spaţiul pluridimensional există cu adevărat; nu poate demonstra că acest concept este valid în realitate. Trebuie să fim foarte clari în acest punct.

Să focalizăm acum alte considerente aduse cu deosebită ascuţime de spirit de matematicieni. Noi fiinţele umane gândim, auzim, simţim în spaţiul tridimensional. Să ne imaginăm fiinţe capabile să perceapă numai în spaţiul bidimensional. Astfel de fiinţe sunt cu totul imaginabile. Organizarea lor corporală le-ar forţa să rămână în plan, aşa încât ar fi incapabile să părăsească a doua dimensiune. Ar fi capabile să se mişte şi să perceapă numai spre dreapta şi stânga, înainte şi înapoi. Nu ar avea nicio idee despre nimic care există deasupra sau sub ele ( Nota 69 ).

Situaţia noastră în spaţiul tridimensional ar putea fi asemănătoare. Organizarea noastră corporală ar putea fi în aşa fel adaptată la spaţiul tridimensional încât să nu putem percepe a patra dimensiune, ci doar s-o deducem, aşa cum fiinţele bidimensionale ar trebui să deducă existenţa celei de a treia dimensiuni. Matematicienii spun că este într-adevăr posibil să gândim că fiinţa umană este limitată în acest fel particular. Desigur, s-ar putea spune şi că acesta poate fi pur şi simplu un comentariu. Aici este cerută din nou o abordare mult mai exactă, deşi chestiunea nu este aşa de simplă ca primul exemplu unde am încercat să folosim numere pentru a înţelege infinitatea spaţiului. În mod deliberat, mă voi mărgini astăzi numai la explicaţii simple.

Situaţia acestei concluzii nu este aceeaşi ca aceea a evaluării pur formale, a calculului matematic. În acest caz, ajungem într-adevăr la un punct în care putem să ne înşurubăm. Este adevărat că poate exista o fiinţă care să poată percepe numai ceea ce se mişcă într-un plan. O asemenea fiinţă ar fi total inconştientă că mai există ceva sus sau jos. Imaginaţi-vă că un punct din plan devine vizibil pentru fiinţa respectivă. Desigur, punctul este vizibil numai din cauză că se află în plan. Atât timp cât punctul se mişcă în plan el rămâne vizibil, dar de îndată ce se mişcă în afara planului el devine invizibil. Din punctul de vedere al fiinţei bidimensionale el dispare. Şi acum să presupunem că punctul apare din nou, devine vizibil din nou, dispare din nou şi aşa mai departe. Când punctul iese în afara planului fiinţa bidimensională nu-l poate urmări, dar îşi poate spune: „Între timp punctul a fost undeva unde eu nu îl pot vedea“. Fiinţa-suprafaţă ar putea face două lucruri. Haideţi să ne furişăm în sufletul acestei fiinţe bidimensionale. Ea ar putea spune: „Există o a treia dimensiune în care obiectul a dispărut, iar apoi a apărut din nou“. Sau ar putea spune, de asemenea: „Numai proştii pot vorbi despre a treia dimensiune. Obiectul a dispărut pur şi simplu şi de fiecare dată când a apărut a fost creat din nou“. În ultimul caz ar trebui să spunem că fiinţa bidimensională păcătuieşte împotriva raţiunii. Dacă nu vrea să presupună că obiectul se dezintegrează şi este recreat în mod repetat, atunci trebuie să recunoască că obiectul dispare undeva unde ea nu-l poate vedea.

Când o cometă dispare, ea trece prin spaţiul cvadridimensional ( Nota 70 ).

Acum vedem ce trebuie adăugat unei abordări matematice a acestei chestiuni. Ar trebui să se găsească ceva în câmpul nostru de observaţie care apare şi dispare în mod repetat. Pentru aceasta nu este necesară clarvederea. Dacă fiinţa bidimensională ar fi clarvăzătoare ar şti din experienţă că există o a treia dimensiune şi nu ar trebui să-i deducă existenţa. Acelaşi lucru este adevărat şi pentru om. Atât timp cât nu este clarvăzător el este forţat să spună: „Sunt limitat la trei dimensiuni dar de îndată ce observ ceva care dispare şi apare periodic sunt îndreptăţit să spun că este implicată o a patra dimensiune“.

Tot ce a fost spus până acum este cu desăvârşire incontestabil şi confirmarea este atât de simplă încât omului, în starea sa actuală de orbire, nici nu-i va trece prin minte s-o accepte. Răspunsul la întrebarea Există oare ceva care dispare şi reapare în mod repetat? este foarte uşor de dat. Gândiţi-vă numai la bucuria care răsare uneori în dumneavoastră şi apoi dispare. Este imposibil ca cineva care nu este clarvăzător s-o mai poată percepe. Apoi acelaşi sentiment reapare din cauza unui eveniment oarecare. Acum, ca fiinţa bidimensională vă puteţi purta în două feluri. Fie vă spuneţi că acest sentiment a dispărut într-un spaţiu unde nu-l puteţi urmări, fie veţi fi de părere că sentimentul a dispărut şi este creat din nou de fiecare dată când reapare.

Adevărul este că orice gând care dispare în inconştient este dovadă că ceva dispare şi apoi reapare. La toate acestea se poate obiecta cel mult ceea ce urmează. Dacă vă străduiţi să obiectaţi împotriva unui astfel de gând plauzibil pentru dumneavoastră, luând în considerare orice obiecţie ce ar putea fi adusă de o concepţie materialistă, faceţi un lucru corect. Voi menţiona acum cea mai pertinentă obiecţie; toate celelalte sunt foarte uşor de combătut. Oamenii ar putea pretinde că totul se explică în mod pur materialist. Vreau să vă dau un exemplu că ceva poate dispărea şi apărea în cadrul proceselor materiale. Imaginaţi-vă un piston cu aburi în acţiune. Atât timp cât forţa acţionează asupra pistonului noi percepem mişcarea sa. Acum să presupunem că noi compensăm mişcarea sa cu un piston identic, lucrând în sens opus. Mişcarea se opreşte, iar maşina rămâne nemişcată. Mişcarea dispare.

La fel, oamenii ar putea pretinde că senzaţia plăcerii nu este nimic altceva decât o mişcare a moleculelor în creier. Atât timp cât se mişcă moleculele experimentez plăcerea. Să presupunem că un alt factor cauzează o mişcare opusă a moleculelor. Plăcerea dispare. Cineva care ar putea merge prea departe în evaluările sale ar putea găsi că acesta este într-adevăr un argument important împotriva ideilor prezentate mai înainte. Dar haideţi să analizăm mai atent această obiecţie. Aşadar, după cum mişcarea pistonului dispare ca rezultat al unei mişcări opuse, un sentiment care se bazează pe mişcarea moleculară se spune că poate fi eliminat de o mişcare moleculară opusă. Ce se întâmplă când mişcarea unui piston este compensată de mişcarea celuilalt? Ambele mişcări dispar. A doua mişcare nu o poate elimina pe prima fără a se elimina pe sine. Rezultatul este totala absenţă a mişcării; nu mai rămâne nicio mişcare. Tot aşa niciun sentiment care există în conştienţa mea nu ar putea vreodată să elimine altul fără a se elimina totodată pe sine. Presupunerea că un sentiment poate elimina un altul este de aceea total falsă. În caz contrar nu ar mai rămâne niciun sentiment şi ar rezulta o totală absenţă a sentimentului. S-ar mai putea spune cel mult că primul sentiment ar putea fi împins de cel de-al doilea în subconştient. Atunci însă se admite că există ceva care se sustrage observaţiei noastre directe.

Astăzi am vorbit numai despre idei pur matematice fără să luăm în considerare percepţia clarvăzătoare. Acum, că am admis posibilitatea să existe o astfel de lume cvadridimensională, ne putem întreba dacă putem observa un obiect cvadridimensional fără a fi clarvăzători. O proiecţie de un anume fel ne pemite să facem asta. Putem roti o figură plană până când umbra pe care o aruncă devine o linie. La fel, umbra unei linii poate fi un punct şi umbra-imagine a unui obiect tridimensional este o figură bidimensională. Astfel, odată ce suntem convinşi de existenţa unei a patra dimensiuni este firesc să spunem că figurile tridimensionale sunt imaginile-umbră ale figurilor cvadridimensionale.

figura 58

Acesta este un mod pur geometric de a ne imagina un spaţiu cvadridimensional. Dar există, de asemenea, un mod diferit de a-l vizualiza cu ajutorul geometriei. Imaginaţi-vă un pătrat care are două dimensiuni. Acum imaginaţi-vă cele patru segmente care-l delimitează îndreptate pentru a forma o singură linie. Aţi desfăşurat formaţiunile limită ale figurii bidimensionale în aşa fel încât ele sunt aşezate într-o dimensiune (figura 58). Să continuăm. Imaginaţi-vă un segment de dreaptă. Procedăm la fel cum am procedat cu pătratul (înlăturând o dimensiune), în aşa fel încât limitele figurii se reduc la două puncte. Astfel, am descris limitele unei figuri unidimensionale în multidimensional. Putem, de asemenea, desfăşura un cub aşezându-l în şase pătrate (figura 59). Desfacem frontierele unui cub aşa încât el este aşezat în plan. În acest fel putem spune că o linie poate fi descrisă ca două puncte, un pătrat ca patru segmente iar un cub ca şase pătrate. Observaţi şirul numerelor: două, patru, şase.

figura 59

Mai departe luăm opt cuburi. Aşa cum exemplele precedente constau din frontierele desfăşurate ale figurilor geometrice, cele opt cuburi formează frontierele unei figuri cvadridimensionale (figura 60). Desfăşurarea acestor frontiere dă naştere unei cruci duble care reprezintă desfăşurarea unui corp cvadridimensional. Hinton numeşte acest cub cvadridimensional tessarakt.

figura 60

Acest exerciţiu ne dă o reprezentare a marginilor unui tessarakt. Ideea noastră despre această figură cvadridimensională este comparabilă cu reprezentarea unui cub pe care fiinţele bidimensionale ar putea-o avea prin desfăşurarea frontierelor unui cub.