Rudolf Steiner

A PATRA DIMENSIUNE

GA 324a

NOTE • PARTEA I

Conferinţa I ‒ Berlin, 24 martie 1905

1. János (Johann) Bólyai (1802-1860), matematician ungur. A studiat problema liniilor paralele şi, alături de Carl Friedrich Gauss şi Nikolai Ivanovici Lobacevski, este considerat unul din fondatorii geometriei neeuclidiene hiperbolice. Articolul despre acest subiect, unica sa publicaţie, a apărut în 1832 ca o anexă la textul matematic scris de tatăl lui, Farkas (Wolfgang) Bólyai (1775-1856). Pentru mai multe informaţii despre cei doi Bólyai, vezi Stäckel [1913].
   
   Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matematician şi fizician din Gottingen. Unul dintre primii care a tratat problema paralelelor şi a conchis că explicarea ei cerea o geometrie neeuclidiană. (Nota traducătorului: de fapt, foarte multă vreme s-a crezut că nu ar fi o axiomă şi că, prin urmare, s-ar putea demonstra pe baza celorlalte axiome, adică pe baza aşa-numitei geometrii absolute. Fiecare aşa-zisă demonstraţie conţinea însă, sub o formă mascată, postulatul paralelelor. În cele din urmă, cei trei matematicieni citaţi mai sus au ajuns la concluzia că acesta nu se poate demonstra şi că înlocuindu-l cu postulate care îl neagă se obţin sisteme necontradictorii, deşi evident contrare „intuiţiei“ euclidiene, aşa-numitele geometrii neeuclidiene, cele hiperbolice cum este cea a lui Lobacevski-Bolyai şi cele eliptice cum este cea a lui Riemann. Primul exemplu rezultă prin „altoirea“ pe trunchiul geometriei absolute a postulatului care afirmă că printr-un punct exterior unei drepte se pot trasa cel puţin două paralele la acea dreaptă, iar cel de-al doilea exemplu rezultă din „altoirea“ pe acelaşi trunchi a postulatului care afirmă că printr-un punct exterior unei drepte nu se poate trasa nicio paralelă la acea dreaptă.) Niciunul dintre studiile sale asupra acestui subiect nu a fost publicat în timpul vieţii lui. Vezi Reichardt [1976].
   
   Bernhard Riemann (1826-1866), matematician din Gottingen şi primul care a descoperit geometria neeuclidiană eliptică. Teza sa despre Ipotezele de la baza geometriei a dezvoltat geometria diferenţială prin generalizarea ei în spaţiul n-dimensional. Aceasta a oferit un stimulent pentru cercetare (pe atunci în copilăria ei) în spaţii multidimensionale. Riemann a fost primul care a făcut deosebire între nemărginirea şi infinitatea spaţiului; prima este o expresie a relaţiilor spaţiale, adică a structurii geometrice a spaţiului (topologia), în timp ce ultima este o consecinţă a relaţiilor numerice. Această distincţie a condus la diferenţierea clară dintre topologie şi geometria diferenţială. Vezi Scholz [1980].


2. Immanuel Kant a atras atenţia asupra acestui fenomen în cartea sa Prolegomena [1783], § 13: „Ce poate fi mai asemănător, în toate părţile sale, cu mâna mea sau cu urechea mea decât imaginea ei în oglindă? Şi totuşi nu pot înlocui originalul prin ceea ce văd în oglindă, pentru că, dacă originalul este mâna dreaptă, imaginea sa în oglindă este o mână stângă iar imaginea unei urechi drepte este o ureche stângă şi nu poate lua locul originalului ei. Nu există între ele diferenţe raţionale, intrinsece, şi totuşi simţurile noastre ne învaţă că ele sunt într-adevăr intrinsece deosebite deoarece în ciuda tuturor asemănărilor mâna stângă nu este conţinută între aceleaşi frontiere ca şi mâna dreaptă (adică nu sunt congruente) iar o mănuşă care se potriveşte pe o mână nu poate fi purtată de cealaltă.“ Vezi de asemenea lucrările lui Kant Lebendige Kräfte (Forţe vii) [1746], §§9-11, şi Gegenden im Raum (Domenii în spaţiu) [1768]. Kant a luat acest fenomen ca o dovadă că fiinţele umane sunt capabile de a cuprinde numai percepţiile senzoriale ale obiectelor ‒ adică aparenţele lor şi nu natura lor intrinsecă. Pentru o analiză a concepţiei lui Kant despre spaţiu cu privire la problema dimensiunii, vezi Zöllner, Wirkungen in die Ferne (Efecte la distanţă) [1878a], pp. 220-227.


3. Figurile simetrice în oglindă care sunt aşezate în acelaşi plan, care sunt deci simetrice faţă de o axă, pot fi făcute să coincidă prin mişcări spaţiale continue. Dacă F este o figură în plan şi F' figura sa oglindită de cealaltă parte a axei a, F poate fi făcută să coincidă cu F' printr-o rotire spaţială în jurul axei a. Figura 68 arată câteva stadii ale acestei rotaţii în proiecţie normală pe plan.
   
   
   Interpretată ca figură plană, această transformare reprezintă o proiecţie ortogonală pe axa a. (În sensul geometriei proiective, aceasta este o perspectivă de axă a şi centrul A pe linia de la infinit a planului.) În proiecţia sa pe plan, figura rotită prin spaţiu pare a pierde o dimensiune trecând prin axa a şi devine paralelă cu direcţia de proiecţie. Observaţi că contururile figurilor F şi F' pot fi făcute să coincidă prin rotaţii în plan (adică în jurul unor puncte din plan) numai dacă sunt desfăcute în segmente de dreaptă care sunt rotite în jurul anumitor puncte de pe axa a. Printr-o operaţie analogă, cele două figuri geometrice tridimensionale F şi F', care sunt imagini în oglindă faţă de planul a, pot fi transformate una în cealaltă printr-o afinitate ortogonală tridimensională cu planul a ca plan al afinităţii (figura 69). Această transformare poate fi interpretată ca o proiecţie ortogonală (în spaţiul tridimensional) a unei rotaţii euclidiene cvadridimensionale în jurul planului a. În această proiecţie, figura tridimensională F pare că pierde o dimensiune trecând prin planul bidimensional a.
   
   Dacă suprafaţa lui F este desfăcută în feţele corespunzătoare, acestea pot fi rotite în jurul axelor corespunzătoare din planul a pentru a forma suprafaţa lui F'.
   
   
   
   Bazându-şi teoriile pe această analogie dintre figurile simetrice bi şi tridimensionale, August Ferdinand Möbius a fost, se pare, primul matematician care a conceput posibilitatea unui spaţiu cvadridimensional în care figurile simetrice tridimensionale pot fi făcute să coincidă fără întreruperea contactului (vezi Calculul baricentric al lui Möbius [1827], §140, notă). Totuşi el a respins această idee ca fiind „imposibil de gândit“ şi nu a urmat-o mai departe.


4. Faptul că avem doi ochi face posibilă percepţia adâncimii; vezi, de asemenea, răspunsurile la întrebările lui A. Strakosch, 11 martie, 1920, retipărite în acest volum. Despre semnificaţia activităţii independente în perceperea dimensiunii adâncimii vezi întrebările şi răspunsurile din 7 aprilie 1921 (GA 76, retipărit aici) şi nota 17 de mai jos.


5. (Johann Karl) Friedrich Zollner (1834-1882), astrofizician din Leipzig, considerat unul dintre fondatorii astrofizicii pentru contribuţiile experimentale şi teoretice la fotometrie şi spectroscopie. Teoria lui despre structura cometelor a deschis direcţii pentru toate cercetările ulterioare. Cartea sa Despre natura cornetelor Contribuţii la istoria şi teoria cunoaşterii (1886), ca aproape toate tratatele sale, conţine comentarii filosofice şi istorice de mare răsunet, ca şi critici polemice ale activităţii ştiinţifice a contemporanilor săi.
   
   În legătură cu studiile sale despre Principiile teoriei electrodinamice a rnateriei [1876], Despre efectele la distanţă [1878a] şi Despre natura cometelor [1886], Zöllner a devenit familiar cu studiile contemporane ale geometriei neeuclidiene şi multidimensionale. Până la începutul anilor 1870 el a presupus că numai spaţiul curb sau o a patra dimensiune ar putea explica anumite fenomene din fizică. În jurul anului 1875, cercetările chimistului şi fizicianului William Crookes (1832-1919) l-au determinat pe Zöllner să studieze spiritismul. El a dezvoltat ideea că existenţa fenomenelor spiritiste s-ar putea explica prin presupunerea existenţei spaţiului cvadridimensional şi că aceste fenomene au dovedit că spaţiul cvadridimensional este o realitate şi nu doar o simplă posibilitate conceptuală (Zöllner [1878a], pp. 273 şi urm.). La scurt timp, Zöllner a început propriile sale studii asupra fenomenelor spiritualiste (vezi [1878b], pp. 752 şi urm.; [1878c], pp. 330 şi urm.; şi în mod special [ 1878d]).
   
   Pentru o sinteză a experimentelor spiritiste ale lui Zöllner, vezi Luttenberger [1977]; pentru o analiză contemporană a lui Zöllner vezi Manifestările spiritiste a lui Simony [1884]. Despre spiritism în general vezi Hartmann, Ipoteza spiritelor [1891 ] şi Spiritism [1898]. Despre istoria spiritismului, din punctul de vedere al lui Rudolf Steiner, vezi conferinţele lui din 1 februarie şi 30 mai 1904 (GA 52) şi conferinţele din 10-25 octombrie, 1915 (GA 254). Zöllner a conceput „lucrurile în sine“ ale lui Kant ca fiind obiecte cvadridimensionale reale proiectate în spaţiul perceptibil ca obiecte tridimensionale. El a găsit demonstraţia acestui mod de gândire în existenţa figurilor tridimensionale simetrice în oglindă care deşi congruente din punct de vedere matematic nu pot fi făcute să coincidă fără a pierde contactul una cu cealaltă [în trei dimensiuni] (vezi nota 3): „De fapt, spaţiul care poate explica fără contradicţii lumea pe care o vedem trebuie să posede cel puţin patru dimensiuni, fără de care existenţa actuală a figurilor simetrice nu poate fi niciodată redusă la o [singură] lege“ (Zöllner [1878a], p. 248). Zöllner considera ideile lui Kant ca fiind precursoare ale propriilor sale vederi (vezi nota 2).
   
   În eseul citat, Zöllner descrie unele din caracteristicile unice ale tranziţiei de la a treia la a patra dimensiune. Atât consideraţiile sale teoretice cât şi experimentele spiritiste sunt bazate pe aceste caracteristici. El începe cu o discuţie despre noduri în spaţiul tridimensional şi atrage atenţia asupra faptului că ele pot fi deznodate numai dacă „porţiuni ale corzii dispar temporar din spaţiul tridimensional în măsura în care este vorba de fiinţe de aceeaşi dimensionalitate (vezi nota 15). Acelaşi lucru s-ar întâmpla dacă printr-o mişcare executată în cea de a patra dimensiune un corp ar fi îndepărtat dintr-un spaţiu tridimensional închis şi reaşezat în afara acestuia. Astfel pare posibil să anulăm aşa-numita lege a impenetrabilităţii materiei în spaţiul tridimensional într-un mod întru totul analog pentru a îndepărta un obiect din interiorul unei curbe închise conţinută într-un plan prin ridicarea obiectului peste linia curbei fără a o atinge“ (Zöllner [1878a], p. 276). Vezi, de asemenea, nota 6.


6. O perpendiculară poate fi construită în orice punct al unei suprafeţe bidimensionale. Dacă un punct P se mişcă în sus de-a lungul perpendicularei, se distanţează de toate punctele suprafeţei fără să-şi schimbe proiecţia M pe suprafaţă. Dacă M este centrul unui cerc, în timp ce punctul P se îndepărtează de suprafaţă, el rămâne echidistant de toate punctele cercului, deşi această distanţă creşte continuu. Dacă lăsăm punctul P să se mişte de-a lungul perpendicularei până când distanţa de la centrul M devine mai mare decât raza cercului şi apoi rotim perpendiculara până când se aşază în planul cercului, punctul P se va fi mutat în afara cercului fără a intersecta circumferinţa.
   
   În mod analog, un punct P aflat în interiorul unei sfere poate ieşi din interiorul acesteia fără a-i străbate suprafaţa de îndată ce facem apel la cea de a parta dimensiune. Orice punct aflat în spaţiul tridimensional poate părăsi acest spaţiu şi poate pătrunde în spaţiul tridimensional în lungul unei drepte perpendiculare fără a atinge vreun punct din spaţiul originar. Dacă îndepărtăm punctul central al unei sfere din spaţiul tridimensional în acest mod, punctul M se va distanţa din ce în ce mai mult de toate punctele suprafeţei sferei în mod egal. De îndată ce distanţa faţă de locul iniţial M este mai mare decât raza sferei punctul a fost scos din sferă şi operaţia poate deveni vizibilă prin rotirea liniei drepte în lungul căreia s-a deplasat puncul, ajungându-se din nou în spaţiul tridimensional.
   
   


7. Arthur Schopenhauer (1788-1869): „Lumea este reprezentarea mea; acesta este un adevăr care se aplică oricărei fiinţe vii, cunoscătoare“ (Lumea ca voinţă şi reprezentare, vol I, §I [1894], p. 29.


8. Rudolf Steiner foloseşte, de asemenea, acest exemplu în cartea sa Filosofia libertăţii (GA 4), capitolul VI, „Individualitatea umană“, p. 106. Vezi, de asemenea, conferinţa sa din 14 ianuarie, 1921 (GA 323, p. 252).


9. Rudolf Steiner discută aceste dificultăţi în detaliu în Filosofia libertăţii (GA 4), capitolul IV, „Lumea ca percepţie“ şi în introducerea sa la Lucrările de ştiinţe naturale ale lui Goethe (GA 1), capitolul IX, „Epistemologia lui Goethe“, şi capitolul XVI. 2, „Fenomenul arhetipal“.


10. Rudolf Steiner foloseşte, de asemenea, această comparaţie în conferinţa sa din 8 noiembrie 1908 (GA 108) în care investighează mai îndeaproape relaţia dintre senzaţie, percepţie, reprezentare şi noţiune.


11. Strict vorbind, această afirmaţie despre tranziţia de la cerc la linia dreaptă este valabilă numai în geometria euclidiană. În geometria proiectivă cercul coincide atât cu tangenta care rămâne fixă cât şi cu dreapta de la infinit (vezi Locher [1937], capitolul IV, în mod special pp. 69 şi urm.). Numai atunci când planul euclidian devine plan proiectiv prin încorporarea dreptei de la infinit este posibil să treacă prin infinit (vezi, de asemenea, Ziegler [1992], capitolul III).


12. Acest fenomen este legat direct cu faptul geometric că este imposibil să treci prin infinit fară să părăseşti domeniul geometriei euclidiene (vezi nota 11). Cu alte cuvinte, punctul pe care ni-l imaginăm mişcându-se într-o direcţie nu este transformat în punctul pe care ni-l imaginăm întorcându-se înapoi din cealaltă parte. Ceea ce leagă cele două porţiuni ale liniei drepte pe care le putem imagina senzorial ca fiind legate prin infinit este legitatea pe care o putem înţelege, ceea ce le separă este alcătuirea lor reprezentată a fi din puncte.


13. Rudolf Steiner foloseşte în mod repetat metafora sigiliului, a cerei de sigilat şi a amprentei, în legătură cu consideraţiile epistemologice, cu privire la relaţia dintre lumea obiectivă şi conştienţa individuală a celui ce cunoaşte. Aspectul decisiv al acestei metafore este acela că în ea, ca în domeniul psiho-fizic, transmiterea formei nu este legată de transmiterea substanţei. Vezi, de asemenea, eseul lui Steiner Filosofie şi antroposofie (GA 35) şi Fundamentele psihologice şi poziţia epistemologică a antroposofiei (GA 35), p. 138.


14. Oskar Simony (1852-1915), matematician şi om de ştiinţă din Viena, fiul geografului şi cercetătorului alpin Friedrich Simony (1812-1896) şi profesor la Colegiul de Agrotehnică din 1880 până în 1913. Studiile sale matematice se referă mai ales la teoria numerelor, topologia experimentală a nodurilor şi suprafeţelor bidimensionale din spaţiul tridimensional (vezi Müller [1931] şi [1951]). Unele din modelele pe care le menţionează Steiner sunt ilustrate în tratatele lui Simony.
    
    Implicarea lui Simony în topologie era inspirată de întâlnirile lui cu experimentele spiritiste ale lui Zöllner (vezi nota 5). El s-a simţit înclinat să studieze problemele spaţiale puse de descoperirea geometriei neeuclidiene şi a celei multidimensionale. Investigaţiile sale s-au extins la a include consideraţii psihologice şi epistemologice (vezi Simony [1883], [1884], [1886]). Simony ştia că nu trebuie să se confunde domeniul empiric cu cel al ideilor matematice.
    
    Ca matematician, posibilitatea conceptuală a spaţiului cvadridimensional nu era o problemă pentru el, dar nu putea să accepte teza lui Zöllner că toate obiectele în spaţiul tridimensional sunt proiecţii ale obiectelor cvadridimensionale care nu sunt senzorial perceptibile. Totuşi intenţia sa nu era să respingă existenţa fenomenelor spiritiste neobişnuite. Dimpotrivă, el a susţinut, ca şi Zöllner, necesitatea unor investigaţii ştiinţifice exacte ale unor asemenea fenomene. El a arătat, de asemenea, cum fenomenele spiritiste relatate de Zöllner ar putea fi demonstrate folosind metodele tradiţionale ale fizicii şi psihologiei sau cel puţin reconciliate cu aceste domenii (Simony, Manifestări spiritiste [1884]) . El a simţit că era important să se demonstreze că explicarea unor asemenea fenomene nu cerea părăsirea spaţiului empiric tridimensional. El a arătat că ipoteza lui Zöllner despre existenţa spaţiului cvadridimensional contrazicea experienţa noastră obişnuită a spaţiului; dacă această ipoteză este corectă, obiectele din spaţiul tridimensional obişnuit al fizicii sunt imagini-umbră pe care le putem schimba după voie, fără să avem acces la prototipurile lor (Simony [1881b], §6 şi [1884], pp. 20 şi urm.). Aşa cum s-a arătat, prin exemplul unei umbre proiectată de un obiect tridimensional pe o suprafaţă nu este posibilă nicio schimbare a umbrei fără accesul direct la obiectul care o aruncă.
    
    Experimentele topologice ale lui Simony intenţionau să investigheze natura spaţiului tridimensional empiric opus spaţiului curb sau oricărui spaţiu matematic imaginabil: „Fenomenele investigate aici, de vreme ce aparţin domeniului simţurilor, pot fi încorporate doar într-o geometrie empirică, fără să fie puse în legătură cu aşa-numita teorie a varietăţilor superioare. În plus, cursul dezvoltării pe care l-am ales eu face de asemenea clar de ce în investigarea diverselor secţiuni de primul şi al doilea ordin am evitat să folosesc atât geometria analitică cât şi calculul infinitezimal, pentru a rămâne independent de orice ipoteză posibilă despre natura spaţiului perceput“ ([1883], pp. 963 şi urm.).
    
    Ca matematician, Simony era interesat în mod special de felul în care se dezvoltă nodurile în suprafeţe inelare curbate şi în suprafeţe închise neînnodate, în forma de cruce. El a demonstrat că asemenea suprafeţe pot fi tăiate în moduri care sau nu le distrug caracterul de închidere sau produc noduri în anumite circumstanţe (Simony [1880], [1881a], [1881 b]). Cel mai simplu şi mai faimos exemplu de acest gen este menţionat de Rudolf Steiner în conferinţa sa, o bandă răsucită la 720° şi închisă inelar.


15. În spaţiul cvadridimensional nu există noduri; adică fiecare nod dintr-un fir sau o panglică închisă poate fi dezlegat pur şi simplu prin tragerea firului sau panglicii, fără tăiere.
    
    Felix Klein (1848-1925) pare să fi fost primul matematician care a atras atenţia asupra acestui fenomen la începutul anilor 1870. Conform unei relatări a lui Zöllner [1878a], Klein a vorbit cu el in timpul unei conferinţe ştiinţifice despre acest subiect cu puţin timp înainte de a publica un tratat în care discuta în treacăt această temă. Klein s-a referit, de asemenea, la această întâlnire şi a exprimat opinia că aceasta a inspirat teza lui Zöllner despre existenţa spaţiului cvadridimensional şi a semnificaţiei sale în explicarea fenomenelor spiritiste (Klein [1926], pp. 169 şi urm.). În timp ce Klein ([1876], p. 478) discută subiectul doar în termeni generali, Hoppe [1879] foloseşte un exemplu formulat analitic pentru a dezlega în mod concret un nod simplu tridimensional în spaţiul cvadridimensional (vezi, de asemenea, Durège [1880] şi Hoppe [1880]).
    
    În Efecte la distanţă ([1878a], pp. 272-274), Zöllner demonstrează desfacerea nodurilor în spaţiul cvadridimensional cu ajutorul unei analogii. El cercetează mai întâi desfacerea unui nod bidimensional într-o curbă închisă (figura 70): fără a tăia curba, întretăierea. (Nota traducătorului: autointersecţia nu poate fi eliminată dacă rămânem în plan, dar, rotind o secţiune a curbei prin spaţiul tridimensional în jurul unei linii drepte aşezată în plan, pot fi evitate autointersecţiile.)
    
    
    
    
    
    „Dacă aceste consideraţii sunt transferate printr-o analogie la un nod din spaţiul tridimensional, este uşor de văzut că un asemenea nod poate fi legat şi dezlegat numai prin operaţii în care elementele firului descriu o curbă dublu îndoită.“ Fără a fi tăiat, acest nod nu poate fi dezlegat în spaţiul tridimensional. „Dacă totuşi ar exista printre noi fiinţe capabile să facă mişcări cvadridimensionale cu obiecte materiale, aceste fiinţe ar fi în stare să lege şi să dezlege asemenea noduri cu ajutorul unei operaţii complet analoge cu dezlegarea nodului descrisă anterior. [...] Observaţiile mele asupra formării nodului dintr-un fir flexibil în diferite dimensiuni ale spaţiului au fost inspirate de comunicările orale ale lui Felix Klein, profesor de matematică din Munchen.“
    „În mod clar, în operaţiile indicate aici, porţiuni ale firului trebuie să dispară temporar din spaţiul tridimensional, în măsura în care o pot percepe fiinţele cu aceeaşi dimensionalitate.“ (Zöllner [1878a], Pp. 273-276).
    
    Desfacerea unui nod în spaţiul tridimensional este într-adevăr posibilă întotdeauna dacă sunt permise autoîntretăierea, sau trecerea printr-a patra dimensiune, de vreme ce ultima face posibile rezultatele autoîntretăierii fără autoîntretăiere (vezi Seifert/Threlfall [1934], p. 3 şi p. 315). Tot ce trebuie să facem este să rotim o secţiune anume a curbei din planul α în jurul planului β prin spaţiul cvadridimensional (figura 71).
    
    
    
    


16. Fiind dată o panglică răsucită cu 360° înainte de a-i fi unite capetele într-un inel, se obţine o suprafaţă care este echivalenta cvadridimensională a unui inel cilindric (figura 72).
    
    
    
    Cu alte cuvinte, răsucirile care sunt multiplu întreg de 360° pot fi desfăcute în spaţiul cvadridimensional (vezi discuţiile de mai jos). Este de presupus că Simony era conştient de acest fenomen, deşi el nu-l menţionează explicit în lucrările sale de topologie, de vreme ce era preocupat în primul rând de calitatăţile empirice ale spaţiului tridimensional. Echivalenţa unei benzi cilindrice nerăsucite în spaţiul tridimensional şi a unei benzi cu o răsucire de 360° în spaţiul cvadridimensional rezultă din faptul că ambele inele sunt caracterizate de două muchii care nu se intersectează. În al doilea caz, aceste muchii curbe sunt răsucite una în jurul celeilalte, pe când în primul caz ele nu sunt. În spaţiul cvadridimensional răsucirea poate fi desfăcută fără vreo suprapunere, transformând inelul răsucit într-un inel nerăsucit (vezi tranziţia de la figura 73 la figura 74).
    
    
    Observaţi că această operarie nu poate fi făcută asupra aşa-numitei benzi Mobius, un inel cilindric încorporând o răsucire de 180° (figura 75). Această suprafaţă are doar o singură muchie; chiar în spaţiul cvadridimensional nu poate fi transformată într-un inel nerăsucit în niciun fel fără a tăia suprafaţa. (Acest fenomen are de-a face cu faptul că o asemenea suprafaţă nu poate fi orientată; vezi Seifert/Threlfall [1934], §2. Banda Möbius a fost descrisă pentru prima dată de către Möbius [1865], §11.)
    
    


17. Geometric vorbind, viziunea statică într-un plan sau în spaţiu poate fi interpretată ca proiecţia centrală a obiectelor din plan sau spaţiu pe o suprafaţă. De aceea unei fiinţe tridimensionale cu acest tip de vedere toate obiectele i-ar apărea ca fiind proiectate pe o suprafaţă. Această fiinţă are o impresie indirectă a celei de a treia dimensiuni numai dacă este în stare să vadă dinamic, adică dacă aparatul său vizual include două direcţii de proiectare şi dacă are abilitatea să le pună de acord. Dacă nu, o asemenea fiinţă ar fi în stare să deducă că există a treia dimensiune (aşa cum fac oamenii cu vedere monoculară pe baza experienţei şi a numeroaselor ocazii de comparaţie), dar nu ar fi în stare să o experimenteze. Chiar faptul că fiinţele umane au vedere tridimensională e o dovadă a naturii noastre cvadridimensionale, pe care nu o putem percepe senzorial, deşi o putem deduce.
    
    Pe baza geometriei şi fizicii, Charles Howard Hinton (1853-1907) a ajuns şi el la concluzia că fiinţele umane trebuie să aibă patru sau chiar mai multe dimensiuni. „Poate fi argumentat că simetria, indiferent de dimensiune, este dovada unei acţiuni într-o dimensionalitate superioară. Astfel, cu privire la fiinţele vii există dovada, atât în structura lor cât şi în diferitele lor moduri de acţiune, a ceva ce intră de afară în lumea anorganică“ (Hinton, A patra dimensiune [1904], p. 78).

Conferinţa a II-a ‒ Berlin, 31 martie 1905

18. Charles Howard Hinton (1853-1907), matematician şi scriitor. Hinton a fost putemic influenţat de tatăl său, James Hinton (1822-1875), un chirurg care a scris şi el eseuri, incluzând câteva despre arta de a gândi în care respingea orice restricţii artificiale impuse gândirii sau experienţei de reglementări de comportare religioase, sociale sau juridice. Prin legătura părinţilor săi cu Mary Everest Boole (1832-1916), văduva matematicianului şi logicianului George Boole (1815-1864), Hinton a întâlnit-o pe fiica lui Boole, Mary Ellen, viitoarea sa soţie. Hinton a studiat matematica la Oxford şi a predat la diverse instituţii înainte de a părăsi Anglia şi de a pleca în Japonia, în 1886. A trăit în Japonia până în 1891, apoi şi-a petrecut restul vieţii în Statele Unite.
    
    Căutarea certitudinii i-a provocat în 1875 o serioasă criză. El a recurs la ideea că numai aranjarea obiectelor în spaţiu ar putea conduce la o cunoaştere absolut certă. În preocupările sale cu exerciţii de gândire privind aranjarea cubului divizat în cuburi mai mici, el a încercat să se elibereze de toate limitările subiective impuse ca, de exemplu, conceptele de „deasupra“ şi „dedesubt“ (Casting Out the Self [1886], pp. 205-229). În acest proces, el a întâlnit problema subdivizării imaginii oglindite a două cuburi şi s-a întrebat dacă acest fenomen nu s-ar putea dovedi a fi şi el determinat în mod subiectiv. În timp ce investiga această problemă, el a descoperit un tratat de Friedrich Zö llner despre a patra dimensiune [1878e] în Quarterly Journal of Science (editat de William Crookes). În acest articol, Zollner prezintă pe scurt experimentele şi opiniile sale despre realitatea celei de a patra dimensiuni. Crookes (chimist şi fizician) şi Zollner aparţineau ambii grupului de cercetători universitari care încercau, deşi cu puţin succes, să folosească metodele ştiinţifice pentru a aborda spiritismul.
    
    Hinton şi-a petrecut resul vieţii studiind problema celei de a patra dimensiuni. Lucrările sale s-au concentrat asupra popularizării ideilor despre spaţiul cu patru dimensiuni şi se ocupau în mod special cu felul în care trebuie dobândită abilitatea de a-l vizualiza. În legătură cu asta Hinton a studiat tranziţia de la a doua la a treia dimensiune în diferite moduri pentru a crea un fundament solid pentru descrierea celei de a patra dimensiuni în spaţiul tridimensional perceptibil. În particular el a dezvoltat exerciţii metodice pentru dobândirea unei concepţii consecvente despre spaţiul tridimensional, iar pentru o vreme a păstrat opinia că este posibilă în acelaşi fel şi dobândirea unei concepţii nonsenzoriale a spaţiului cvadridimensional (vezi O nouă eră de gândire [1900] şi A patra dimensiune [1904]). Hinton credea că lumea include o extensie materială în cea de a patra dimensiune şi încerca să demonstreze această ipoteză prin diverse experienţe în psihologie şi fizică. Această concepţie a întâlnit rezistenţă atât din partea materialiştilor care acceptau existenţa a doar trei dimensiuni cât şi din partea spiritiştilor care preferau să interpreteze a patra dimensiune ca având un caracter pur spiritual (vezi Ballard [1980]). Hinton a fost un scriitor controversat, intens citit şi foarte respectat de publicul laic, în mod special de teosofi şi artişti avangardişti (vezi Henderson [1983], [1985] şi [1988]). El a fost respins sau ignorat în cercurile academice.


19. Vezi explicaţiile corespunzătoare din conferinţa precedentă.


20. Vezi Rudolf Steiner, Ştiinţa ocultă în rezumat (GA 13), capitolul IV: „Evoluţia cosmică şi fiinţa umană“


21. Nu este posibilă pur şi simplu o reconstrucţie a ceea ce Steiner a vrut sa spună prin această analogie şi nu există nimic în lucrările lui Hinton care să corespundă cu acest tip de ideaţie. Deşi şi Hinton foloseşte culori pentru a ilustra tranziţia de la a doua la a treia dimensiune şi în mod special tranziţia de la a treia la a patra dimensiune, el le utilizează într-un mod foarte diferit. În conferinţa sa din 24 mai, 1905, retipărită în acest volum, Steiner recapitulează gândurile lui Hinton despre acest subiect.
    
    Fundamentul geometric al gândurilor lui Steiner, prezentate aici, este următorul: un segment de dreaptă împărţit în jumătate poate fi transformat într-un pătrat permiţând fiecărei jumătăţi de segment să fie latura comună a două pătrate mai mici, adiacente. Rezultatul este un pătrat mai mare împărţit în patru pătrate mai mici (figura 16). Un cub împărţit în opt cuburi mai mici poate fi construit permiţând fiecărui pătrat mic să devină suprafaţ:a comună a două cuburi adiacente (figura 17). Figura cvadridimensională corespunzătoare, cubul cvadridimensional, rezultă când fiecare din cele opt cuburi mai mici ale cubului tridimensional este interpretat ca graniţa comună a două cuburi cvadridimensionale. Rezultatul este un cub cvadridimensional împărţit în 16 cuburi cvadridimensionale.
    

Conferinţa a III-a ‒ Berlin, 17 mai 1905

22. Domnul Schouten după toate probabilităţile, este vorba de Jan Arnoldus Schouten (1883-1971), matematician olandez din Delft.
    
    În arhivele Rudolf Steiner Nachlassverwaltung există o scrisoare a lui Schouten către Steiner. Partea care se referă la această conferinţă este următoarea:
    
    Delft
    1 decembrie 1905
    
    Stimate domnule doctor,
    Înainte de a pleca acasă în iulie, în acest an, m-am oprit să vă spun la revedere, dar din păcate dumneavoastră eraţi deja plecat. Ca urmare, modelele folosite pentru conferinţa dumneavoastră se află încă în posesia dumneavoastră. De vreme ce intenţionez să ţin câteva conferinţe despre a patra dimensiune, aş dori să vă rog cât se poate de prieteneşte să-mi trimiteţi modelele. Aceste conferinţe sunt destinate mai multor cercuri, incluzându-l pe cel din Delft, care a fost fondat cu puţin timp în urmă.
    
    
    Al dumneavoastră sincer,
    J. A. Schouten
    M.T.S.
    
    
    După ce a studiat ingineria electrică la colegiul tehnic din Delft, Schouten şi-a practicat profesia pentru câţiva ani la Rotterdam şi la Berlin. Pentru a fi în stare să înţeleagă teoria generală a relativităţii, Schouten a studiat matematica de unul singur şi a scris cartea Grundlagen der Yektor ‒ und Affinoranalysis [ 1914] pe care a prezentat-o ca disertaţie la Universitatea din Delft. La puţin timp după aceea a fost numit profesor la Delft, unde a rămas până în 1943.
    
    Cartea lui Schouten, cu o dedicaţie personală a autorului, a fost găsită în biblioteca lui Rudolf Steiner. Mama lui Schouten, H. Schouten, era membră a Societăţii teosofice şi mai târziu a Societăţii antroposofice. Până acum a fost găsită numai o indicaţie a legăturii dintre Schouten şi Rudolf Steiner, într-o scrisoare (de asemenea din arhiva Steiner) de la mama lui Schouten către Rudolf Steiner, datată 4 martie, 1913. În această scrisoare se spune printre altele:
    
    „Am fost foarte încrezătoare că fiul meu, intenţionând să renunţe la Societatea teosofică, va deveni membru al Societăţii antroposofice, dar el spune că pentru moment nu poate să facă acest lucru cu o conştiinţă clară pentru că nu a fost în stare să ţină pasul cu studiile sale teosofice. Mi-a spus că îşi face un scop din a studia serios tot ceea ce întreprinde în viaţa lui, şi asta pentru că propria lui muncă academică cere foarte mult de la el deocamdată, aşa încât nu este în stare pentnt moment să reia din nou studiile teosofice. Primul manuscris al lucrării sale a fost trimis la Academia Regală. În plus, el ţine conferinţe săptămânal despre matematică la Delft şi despre electricitate la Rotterdam. În săptămâna în care veţi fi la Haga, Societatea de filosofie din Amsterdam i-a cerut să ţină o conferinţă despre conceptele sale de matematică imaterială. Slavă Domnului, atât el cât şi soţia lui au asimilat adevărurile despre reîncarnare şi karmă. Ei ar dori să participe la conferinţele dumneavoastră publice, iar fiut meu crede că şi unii din colegii lui ar putea participa dacă subiectul li se pare interesant. Sper că dumneavoastră şi fiul meu veţi găsi prilejul să vă întâlniţi.“
    
    Primul articol al lui Schouten din Verslagen en Mededeelingen der Koninglijke Akademie van Wetenschappen a apărut în 1917 în volumul 26; un articol din Verhandelingen der Koninglijke Akademie van Wetenschapen te Amsterdam a apărut în 1918, în volumul 12.
    


23. Cronos (a nu fi confundat cu Chronos sau Timpul) este unul din fii lui Uranus şi al Geei. S-a căsătorit cu sora lui Rhea care a dat naştere la trei fete (Hestia, Demetra şi Hera) şi la doi fii (Poseidon şi Zeus). Cronos i-a devorat pe toţi, cu excepţia lui Zeus, pe care Rhea l-a încredinţat mamei ei, Geea. (Vezi Kerenyi, Die Mytologie der Griechen [ 1966], vol. I, capitolul I, secţiunile 1 şi 2.)


24. Vezi Teosofia lui Rudolf Steiner.


25. Johann Wolfgang von Goethe (1749-1832). Conversaţii ale unor emigranţi germani, Basmul: Între timp regele de aur spuse omului cu lampa: „Câte taine cunoşti?“ „Trei“, răspunse bătrânul. „Care este cea mai importantă?“ „Cea revelată“, răspunse bătrânul.


26. Platon (427-347 î.Ch.). Timaeus 36b-37a. Vezi, de asemenea, Creştinismul ca fapt mistic (GA 8, pp. 65 şi urm.).

Conferinţa a IV-a ‒ Berlin, 24 mai 1905

27. În cursul vieţii sale, Hinton a dezvoltat şi popularizat nu una ci mai multe metode de reprezentare a spaţiului cu patru dimensiuni în spaţiul tridimensional perceptibil. El a fost remarcat mai mult pentru lucrările de popularizare ale acestui subiect decât pentru originalitatea sa matematică. Vezi lista lucrărilor lui Hinton în Bibliografie.


28. Hinton a folosit câteva sisteme de culori şi distribuţii de culori. El vedea reprezentarea bidimensională a figurilor tridimensionale ca pregătire pentru reprezentarea tridimensională a figurilor cvadridimensionale (vezi O nouă eră de gândire [1900], partea a II-a, capitolele I-IV şi VII, şi A patra dimensiune [1904], capitolele XI-XIII). Steiner pare să se fi referit la o versiune mult simplificată a unuia dintre sistemele lui Hinton.
    
    Nu este evident din contextul conferinţei dacă Steiner a intenţionat ca culorile să sugereze atribute specifice ale dimensiunilor corespunzătoare, dar pare improbabil. Diferitete transcrieri ale conferinţei diferă substanţial în acest loc, probabil datorită diferitelor moduri de a adapta folosirea culorii de către Steiner (în mod special albul), trecându-le de la tabla neagră la hârtia albă.
    


29. Aceste modele nu s-au găsit printre lucrurile lui Steiner după moartea sa. Probabil ele au fost returnate lui J.A. Schouten (vezi scrisoarea din nota 22).


30. Un cub mărginit de şase suprafeţe poate fi creat mişcând un pătrat cu cele patru laturi ale sale în spaţiul tridimensional. Cele şase suprafeţe constau din pătratele de început şi de sfârşit, plus cele patru produse de laturile în mişcare. Aceasta apare evident în proiecţia paralelă a acestei mişcări pe un plan ‒ adică în spaţiul bidimensional (vezi figura 88). La fel, mişcarea unui cub cu şase suprafeţe în spaţiul cvadridimensional creează o figură cu opt cuburi formând frontierele sale ‒ cubul iniţial şi cel final, plus şase cuburi create prin mişcarea feţelor ‒, aşa cum este uşor de văzut dintr-o proiecţie paralelă a mişcării cubului în spaţiul tridimensional (vezi figura 90).


31. Hinton pare să fi atribuit termenul tessarakt figurii cvadridimensionale analogă cubului. Pronunţia tesserakt apare de asemenea în lucrările sale.


32. A patra dimensiune [1904], de Hinton, capitolul XII, conţine aproape acelaşi raţionament şi figuri identice.


33. Faust, de Goethe, partea I, scena 4, camera de studiu a lui Faust, versetul 2065:
    
    Mefisto:
    Întindem acum pur şi simplu mantia
    Care ne va purta pe amândoi prin aer.
    Dar nu adu o boccea prea mare
    În timp ce faci acest pas îndrăzneţ.
    Puţin aer de foc ce eu voi pregăti
    Uşor ne va ridica de la pământ
    Deveniţi mai uşori, repede noi ne vom ridica;
    Felicitări în noua ta carieră!
    


34. Geneza 1:2. Vezi Rudolf Steiner, Geneza. Misterul biblic al Creaţiei (GA 122), în mod special conferinţa din 20 august, 1910.


35. Ibidem.

Conferinţa a V-a ‒ Berlin, 31 mai 1905

36. Vezi nota 30.


37. Situaţia descrisă aici corespunde cu figura 76, în cazul unui cub desfăşurat în plan:
    
    
    
    Poziţia pătratului 6, direct deasupra pătratului 5, nu poate fi descrisă în mod direct în plan. Latura superioară a pătratului 2, latura inferioară a pătratului 4 şi laturile dreaptă şi stângă a pătratelor 3 şi 1 trebuie văzute ca identice cu laturile pătratului 6. În mod corespunzător, cuburile 7 şi 8 „coincid“ şi nu pot fi deosebite în spaţiul tridimensional prin mijloace directe. Suprafeţele de jos şi de sus ale cuburilor 5, respectiv 6, din dreapta şi din stânga ale cuburilor 3 respectiv 4 şi din faţă şi din spate ale cuburilor 1 respectiv 2 constituie de asemenea suprafeţe ale cubului 8. Desfăşurarea unui cub face să fie uşor de observat coincidenţa dintre muchiile celui de al şaselea pătrat şi cele ale pătratelor vecine (figura 77).
    
    
    
    Figura 78 arată situaţia corespunzătoare în cazul unui tessarakt. Suprafeţele celui de al optulea cub trebuie considerate ca fiind identice cu suprafeţele cuburilor vecine.
    
    


38. În fiecare din cele cinci poliedre regulate convexe ‒ cubul, tetraedrul, octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul ‒ toate unghiurile diedrelor formate de suprafeţele alăturate sunt egale între ele. Valoarea comună a acestor unghiuri diedre este unică pentru fiecare poliedru regulat. Suprafeţele oricărui poliedru regulat sunt poligoane regulate egale între ele, adică toate muchiile lor sunt egale între ele şi toate unghiurile lor sunt egale între ele. Astfel, trebuie doar să investigăm câte poligoane se pot învecina în jurul unui punct, în aşa fel încât să obţinem o listă completă a tuturor poliedrelor regulate posibile. Să începem cu triunghiurile echilaterale (figura 79). Două triunghiuri echilaterale nu pot forma singure un vârf al poliedrului. Trei asemenea triunghiuri pot forma un vârf de tetraedru, patru formează un vârf de octaedru iar cinci formează un vârf de icosaedru. Şase asemenea triunghiuri se aşază într-un plan şi nu pot forma un vârf.
    
    
    
    Trei pătrate pot forma un vârf de cub, în timp ce patru se aşază în plan. Trei pentagoane regulate formează un vârf de dodecaedru, dar patru asemenea pentagoane s-ar suprapune (figura 80).
    
    
    
    Trei hexagoane se aşază într-un plan, iar patru hexagoane se suprapun. Deci nu pot exista mai mult decât cele cinci tipuri de poliedre regulate menţionate anterior.


39. Rudolf Steiner se referă aici la o procedură standard din cristalografia geometrică. Cele şapte clase de cristale se bazează pe cele şapte sisteme cristalografice de axe. Un grup de simetrii care reprezintă toate simetriile elementelor unei clase este numit o holoedrie. Poliedrele aparţinând acestor grupuri de simetrii sunt numite forme holoedrale. Ele sunt poliedre simple care pot fi transformate unul în celălalt prin simetrii care aparţin unui singur sistem de cristale. Formele hemiedrale sunt poliedre cu jumatate din numărul de feţe ale formelor holoedrale corespondente. Hemiedralele sunt derivate din holoedrale prin prelungirea unora dintre feţele holoedralelor şi prin dispariţia altora. Grupul de simetrii a hemiedralelor este redus în mod corespunzător (subgrupul holoedralelor de ordin 2). În acest sens, un tetraedru este o variaţie hemiedrală a unui octaedru deoarece are jumătate din numărul de feţe ale acestuia.
    
    Cristalografii au introdus, de asemenea, formele tetradoedrice, poliedre cu a patra parte din numărul de feţe ale figurilor holoedrale corespunzătoare şi cu un grup de simetrii redus în mod corespunzător (subgrupul de ordinul 4 al holoedrelor). Pentru mai multe informaţii vezi Hochstetter/Bisching [ 1868], pp. 20 şi unn.; Schoute [ 1905], pp. 190 şi urm.; Niggli [1924], pp. 70 şi urm. şi pp. 129 şi urm.


40. Într-un cub, orice pereche de suprafeţe secante se intersectează într-un unghi drept. Indiferent ce suprafeţe alegem, prelungindu-le, vom obţine întotdeauna, la intersecţi, unghiuri drepte. În orice caz, într-un cub, prin reducerea numărului de suprafeţe nu se mai obţine un poliedru închis.
    


41. Prin axele cubului se înţeleg aici cele trei direcţii perpendiculare care se intersecteză în centrul cubului; o pereche de suprafeţe este perpendiculară pe fiecare axă. Aceste axe sunt, de asemenea, axele celor trei zone ale cubului (figura 81). O zonă sau o asociaţie de zone este un set de cel puţin trei suprafeţe care sunt paralele cu o axă zonală.
    
    
    
    Un dodecaedru rombic este uşor de construit cu ajutorul unui cub. Înainte de toate sunt construite şase plane diagonale care unesc muchiile cubului două câte două (figura 82). Apoi sunt construite în afara cubului simetricele celor şase piramide interioare faţă de cele şase feţe ale cubului (figura 83). Cele patru „axe“ menţionate în conferinţă sunt diagonalele dodecaedrului rombic care coincid cu diagonalele cubului.
    
    
    
    
    
    Aceste patru axe sunt numite axele zonale ale dodecaedrului rombic ‒ adică fiecare din ele este paralelă cu şase suprafeţe ale acestei figuri. Aceste patru grupe a câte şase plane sunt numite zonele dodecaedrului rombic.
    
    Deoarece nu toate vârfurile sale sunt la fel, un dodecaedru rombic nu este un poliedru regulat. Trei suprafeţe se intersectează în fiecare din vârfurile cubului în timp ce patru suprafeţe se intersectează în fiecare din celelalte vârfuri. Axele zonale trec prin vârfurile unde se întâlnesc trei suprafeţe. Observaţi că „axele“ descrise aici reprezintă o anume selecţie din cele şapte diagonale posibile (segmentele de dreaptă care unesc vârfurile opuse două câte două).
    
    
    
    Pentru reprezentarea grafică: dodecaedrul rombic, ca şi celelalte figuri geometrice descrise aici, este desenat în proiecţie paralelă oblică care este cel mai potrivit mod de desen cu mâna pe tablă. Această proiecţie cauzează uşoare distorsiuni ale figurilor în cauză, distorsiuni care trebuie luate în considerare.


42. Pe lângă axele descrise în nota precedentă, un dodecaedru rombic are şi axe perpendiculare pe feţele sale. Dacă un dodecaedru rombic este ţinut fix în timp ce axele sale sunt rotite cu 45° în jurul axelor perpendiculare ale cubului din care provine, atunci axele trec prin centrele a opt din feţele dodecaedrului. Figura formată de aceste suprafeţe este un octaedru constând dintre cele patru perechi de suprafeţe care sunt perpendiculare pe axele zonale (rotite cu 45°) ale dodecaedrului rombic (figura 85). Adăugând la aceste patru axe cele două axe orizontale (rotite şi ele cu 45°) ale cubului (vezi nota precedentă) rezultă un sistem de şase „axe“; fiecare suprafaţă a dodecaedrului rombic este perpendiculară pe una din ele.
    
    


43. Înjumătăţirea numărului suprafeţelor cubului nu produce noi unghiuri diedre. Un dodecaedru rombic poate fi „înjumătăţit“ în câteva moduri diferite (figurile 86 şi 87). Atunci când această operaţie produce un poliedru închis, acela este un paralelipiped oblic.
    
    
    
    


44. Această afirmaţie presupune că tăierile vârfurilor tetraedrului sunt făcute paralel cu suprafeţele existente. Tăind succesiv vârfurile unui cub în aşa fel încât suprafeţele de secţiune să fie perpendiculare pe diagonalele cubului se obţine mai întâi un cub-octaedru şi, în final, un octaedru.


45. Vezi, de asemenea, conferinta lui Steiner din 31 martie 1905. Indiferent care trei din cele şase plane sunt selectate, rezultatul prelungirii lor în spaţiu este o „figură“ care se întinde la infinit. Dacă cele trei suprafeţe alese sunt perpendiculare între ele, rezultatul este o figură geometrică constând din trei axe perpendiculare şi trei plane care le conţin două câte două. O asemenea figură poate fi văzută ca reprezentând spaţiul euclidian tridimensional şi este, de asemenea, fundamentul geometric al fiecărui sistem de coordonate euclidian sau cartezian.


46. Aici şi în restul conferinţelor, prezentarea lui Steiner pare să fi fost în mod substanţial prescurtată, având ca rezultat faptul că diferite perspective se suprapun.
    
    La seria pătrat-cub-tessarakt putem adăuga o altă serie de figuri geometrice unde planele sau feţele figurii sunt mai degrabă curbate decât drepte sau plate. Putem numi figurile din această a doua serie pătrate curbe, cuburi curbe şi tessarakt-uri curbe. Într-o asemenea figură elementele care formează muchiile şi feţele ei au acelaşi număr de dimensiuni ca şi întreaga figură.
    
    Cercul, suprafaţa sferică (sfera bidimensională) şi sfera solidă (tridimensională) sunt topologic echivalente cu elementele liniare care definesc graniţele unui pătrat, unui cub, respectiv ale unui tessarakt. Discul, bila şi bila cvadridimensională sunt topologic echivalente cu pătratul, cubul respectiv tessarakt-ul.
    
    Pe de altă parte, curbarea potrivită a unui segment de dreaptă unidimensional ne dă un segment bidimensional de curbă sau ‒ într-un caz special ‒ un arc de cerc. Curbarea unui disc dă naştere unei figuri tridimensionale, o emisferă goală pe dinăuntru. Curbarea unei sfere solide dă naştere unei figuri cvadridimensionale (într-un caz special, o parte dintr-o sferă cvadridimensională).
    
    În acest fel, un cerc poate fi construit din două segmente de dreaptă ale căror capete sunt unite. În mod similar, în spaţiul tridimensional, o suprafaţă sferică poate fi construită din două discuri care au fost întâi curbate şi ale cărei muchii au fost apoi unite. În spaţiul cvadridimensional se obţine o sferă tridimensională atunci când sunt unite suprafeţele a două sfere solide curbate (sfere bidimensionale). Această sferă tridimensională se raportează la spaţiul tridimensional aşa cum o bilă (suprafaţa unei sfere obişnuite) se raportează la un plan. [Matematicianul David Cooper comentează: În ambele cazuri comparaţi figuri pline mai degrabă decât graniţe. O sferă (graniţa unei bile) este bidimensională, aşa că volumul sferei bidimensionale înseamnă bila tridimensională.]

Conferinţa a VI-a ‒ Berlin, 7 iunie 1905

47. Probabil că se face această referire la cărţile lui Hinton Romanţe ştiinţifice [1886], O nouă eră de gândire [1900] şi A patra dimensiune [ 1904].


48. Strict vorbind, descrierea tessarakt-ului din conferinţa precedentă (31 mai 1905) nu este o proiecţie, ci pur şi simplu o vedere desfăşurată. În conferinţa de faţă, Steiner trece la construirea unei proiecţii paralele ortogonale a unui tessarakt în spaţiul tridimensional, luând una din diagonale ca direcţie a proiecţiei.


49. Considerând cadrul format de muchiile unui cub, o proiecţie paralelă oblică a cubului pe plan constă în general din două pătrate care nu coincid, cu laturile paralele împreună cu segmentele care le unesc vârfurile corespunzătoare (figura 88: proiecţia paralelă oblică a unui cub).
    
    
    
    Dacă este aleasă diagonala A'C ca direcţie de proiecţie, vârfurile A' şi C coincid, dând naştere unui hexagon oblic şi diagonalelor sale: Imaginile celor şase feţe individuale ale cubului pot fi reconstruite din acest hexagon desenând toate paralelogramele posibile definite de structura de linii existentă. Fiecare din aceste paralelograme se suprapune cu alte două, iar suprafaţa hexagonului este acoperită de două ori de către feţele cubului. Când direcţia proiecţiei este perpendiculară pe planul de proiecţie, imaginea rezultată este un hexagon regulat (figura 89: proiecţia paralelă ortogonală a cubului).
    
    
    
    Observaţi că cele trei diagonale ale hexagonului reprezintă, de asemenea, cele trei axe ale cubului. Asocierile de zonă aparţinând fiecărei axe ‒ adică cele patru feţe ale cubului care sunt paralele cu ea ‒ apar ca patru paralelograme sau romburi cu una din muchii coincizând cu axa corespunzătoare.


50. Mai devreme, în această conferinţă Steiner numea „romb“ un pătrat distorsionat sau oblic, care este de fapt un paralelogram cu laturile rgale. Figura solidă corespondentă, paralelipipedul rombic al lui Steiner, este un cub oblic ‒ adică un paralelipiped ale cărui muchii au toate aceeaşi lungime.


51. Dacă vedem tessarakt-ul ca fiind cadrul format din muchiile sale, rezultatul proiectării tessarakt-ului în spaţiul tridimensional constă din două cuburi oblice paralele şi din segmentele care unesc vârfurile corespunzătoare (figura 90: proiecţie paralele oblice ale unui tessarakt).
    
    
    Când proiecţia se face de-a lungul diagonalei A'C, capetele A' şi C coincid şi se obţine un dodecaedru rombic cu patru diagonale. În prima figură sunt uşor de urmărit imaginile celor opt cuburi definite de graniţele tessarakt-ului: ele sunt toate paralelipipedele posibile formate de muchiile structurii existente. Aceste paralelipipede includ cubul original, cubul deplasat (oblic) şi cele şase paralelipipede care au câte o faţă comună cu cubul original şi cu cel deplasat. Această situaţie nu se schimbă în mod fundamental atunci când facem tranziţia către dodecaednrl rombic, cu excepţia că în acest caz toate „cuburile rombice“ (paralelipipede) se întrepătrund în aşa fel încât umplu spaţiul interior al dodecaednrlui rombic de exact două ori, fiecare paralelipiped incluzând porţiuni ale altor trei.
    
    Cele patru diagonale ale dodecaedrului rombic care apar în proiecţia tessarakt-ului sunt axele zonale ale celor patru grupuri de şase fete ale dodecaedrului rombic. Fiecare asemenea grup constă din toate cele şase suprafeţe care sunt paralele cu o singură axă zonală. (Observaţi că într-un dodecaedru rombic axele trec prin vârfuri mai degrabă decât prin centrele feţelor, ca în cazul cubului.)
    
    Aceste patru axe sunt în acelaşi timp şi proiecţiile celor patru axe ale tessarakt-ului care sunt perpendiculare în spaţiul cvadridimensional. Cele trei axe ale unui cub trec prin centrele pătratelor feţelor. În mod analog, axele tessarakt-ului trec prin centrele cuburilor care formează „feţele“ sale. În proiecţie paralelă, centrul unui cub este transformat în centrul paralelipipedului corespunzător. Aşa cum putem descoperi, prin studierea tuturor celor opt paralelipipede ale unui dodecaedru rombic, cele patru axe trec exact prin centrele acestor paralelipipede.
    
    Cele trei axe perpendiculare ale cubului sunt totodată axele zonale ale celor trei grupuri a câte patru feţe fiecare. La fel, cele patru axe ale tessarakt-ului sunt axele zonale ale celor patru grupuri a câte şase celule fiecare (celula fiind oricare din cuburile care formeazl o „faţă“ a tessarakt-ului). În dodecaedrul rombic, celulele aparţinând fiecărei axe sunt uşor de găsit: ele sunt cele şase paralelipipede avâud una din muchii ce coincide cu acea axă.
    
    
52. Platon, Republica, cartea 7, 514a-518c. Nu a fost încă posibil să stabilim unde foloseşte Schopenhauer această metaforă.


53. Zöllner atrage atenţia asupra acestei interpretări a alegoriei peşterii a lui Platon în eseul său Über Wirkurtgen in die Ferne [1878a], pp. 260 şi urm.


54. Vezi conferinţa din 24 martie 1905.


55. Ceea ce pare că înţelege Steiner aici prin tessarakt nu este un cub cvadridimensional în sensul îngust, ci mai degrabă echivalentul său topologic, sfera tridimensională în spaţiul cvadridimensional care este formată prin curbarea şi ataşarea a două sfere tridimensionale. Vezi nota 46, conferinţa a V-a.


56. Vezi nota 46, conferinţa a V-a.


57. Restul textului acestei conferinţe încorporează fragmente de traduceri citate în eseul lui Haase [1916], care a ajutat la clarificarea sensului lui.


58. Exodul 19, şi de asemenea Exodul 33 şi 34.


59. În literatura teosofică, cele trei regiuni superioare ale ţării spiritului sunt numite regiunile Arupa, în contrast cu cele patru regiuni inferioare sau Rupa. Vezi nota editorului la Die Grundelemente der Esoterik (GA 93a), pp. 281 şi urm. Despre problema dimensionalităţii în legătură cu planurile sau regiunile lumii spiritelor, vezi, de asemenea, conferinţa lui Rudolf Steiner din 17 mai 1905; răspunsul lui la întrebările puse de A. Strakosch la 11 martie 1920; întrebările şi răspunsurile din 7 aprilie 1921 (GA 76) şi 12 aprilie 1922 (GA 82); conferinţele din 19, 20, 22 şi 26 august 1923 (GA 227).

Spaţiul Cvadridimensional ‒ Berlin, 7 noiembrie 1905

60. Vezi conferinţele lui Steiner din 24 şi 31 martie 1905 precum şi notele însoţitoare.


61. Vezi nota 6, conferinţa I.


62. Vezi autobiografia lui Rudolf Steiner, Autobiografie. Capitole în cursul vieţii mele (GA 28), capitolul III, p. 63 şi conferinţa sa din 3 aprilie 1922 „Die Stellung der Anthroposophie in den Wissenschaften“, în Damit der Mensch ganz Mensch werde: Die Bedeutung der Anthroposophie im Geistesleben der Gegenwart (GA 82).


63. În acest pasaj, Rudolf Steiner se referă la planul îndepărtat (sau absolut) al spaţiului euclidian, rezultând un spaţiu proiectiv. Un spaţiu proiectiv nu are limite sau graniţe, însemnând că putem călători spre „infinit“ în orice direcţie şi ne putem întoarce din direcţia opusă.


64. Vezi, de asemenea, explicaţia din conferinţa sa din 24 martie 1905 şi notele însoţitoare.


65. Vezi explicaţiile de la începutul conferinţei precedente (7 iunie 1905) şi notele însoţitoare.


66. Devachanul superior şi inferior sunt domenii cereşti pe care sufletul le străbate după moarte. Vezi Teosofia lui Rudolf Steiner.

Despre spaţiul multidimensional ‒ Berlin, 22 octombrie 1908

67. Primele studii matematice asupra problemei spaţiului multidimensional datează de la mijlocul secolului al XIX-lea. Vezi introducerea la Geometria cu patru dimensiuni [1914].


68. În pasajele care urmează, Rudolf Steiner se bazează pe studiile lui Riemann asupra geometriei varietăţilor n-dimensionale. Vezi nota 1, conferinţa I.


69. Vezi, de asemenea, următoarele cărţi, care erau bine cunoscute şi populare în timpul lor: Abbott, Lumea plată [1884], Hinton, capitolul „O lume plană“, în Romanţe ştiinţifice [1886] (pp. 129-159) şi Hinton, Un episod al lumii plate [1907].


70. Vezi, de asemenea, conferinţa lui Rudolf Steiner din 10 aprilie 1912 (GA 136). Nu ne-a fost posibil să confirmăm presupunerea că această afirmaţie a lui Steiner se referă la concepţia lui Zöllner despre acest subiect. Teoria lui Zöllner despre comete (vezi Zöllner [1886]) a devenit baza şi punctul de plecare pentru teoria modernă convenţională despre comete şi nu există nicio indicaţie că Zöllner ar fi văzut vreo legătură între teoria sa despre comete şi ideile spiritualiste despre spaţiul cvadridimensional.