Biblioteca antroposofică


Rudolf Steiner

A PATRA DIMENSIUNE

GA 324a


NOTE • PARTEA a II-a

Berlin, 22 octombrie 1908

  1. Aceste răspunsuri la întrebări au fost date după o conferinţă despre creştinism (încă nepublicată în ediţia completă a operelor lui Rudolf Steiner), ţinută în faţa secţiei de la Berlin.

  2. Jan Arnoldus Schouten (1883-1971). Vezi nota 22, conferinţa din 17 mai 1905. Această întrebare sugerează că problema celei de a patra dimensiuni era de actualitate chiar şi în cercul apropiat lui Steiner şi că prin conferinţele sale referitoare la a patra dimensiune el voia să trateze problemele de ştiinţă a spiritului legate de aceasta.
Stuttgart, 2 septembrie 1906
  1. Această sesiune întrebare-şi-răspuns a avut loc în timpul ciclului de conferinţe Vor dem Tore der Theosophie (GA 95).

  2. Aparent, prin spaţiu Rudolf Steiner înţelege spaţiul ordinar, perceptibil, care este definit de legile geometriei euclidiene. În acest tip de spaţiu, infinitul (sau planul de la infinit atunci când acesta este încastrat în spaţiul proiectiv) este o frontieră impenetrabilă. Conform lui Steiner, aceasta nu se aplică spaţiului astral a cărui structură este înrudită cu aceea a spaţiului proiectiv. În acest tip de spaţiu nu există limite şi nici infinit de neatins. Spaţiul proiectiv este închis în sine, adică putem să ne îndreptăm, pornind de la un punct fix, în orice direcţie pentru ca în cele din urmă să ne întoarcem la acelaşi punct.

  3. Nu a fost încă posibil să reconstruim exact ceea ce vrea să spună această afirmaţie. Pe baza desenului care a fost păstrat (figura 62), afirmaţia poate fi un fragment al unei explicaţii cu aproximativ următorul conţinut: în a doua dimensiune un obiect bidimensional aflat în interiorul unui cerc nu poate părăsi cercul fără să-i intersecteze circumferinţa. Totuşi obiectul poate fi uşor mutat în afara cercului, prin folosirea celei de a treia dimensiuni. La fel, un obiect aflat în interiorul unei sfere din spaţiul tridimensional nu poate fi înlăturat fără a străpunge sfera, cu excepţia trecerii prin cea de a patra dimensiune. (Vezi explicaţiile în conferinţa din 24 martie 1905 şi notele însoţitoare.)
Nürnberg, 28 iunie 1908
  1. Această sesiune întrebare-şi-răspuns a avut loc în timpul ciclului de conferinţe Apocalipsa Sfântului Ioan (GA 104).

  2. Kant, Introducere la orice metafizică viitoare [1783], „Idei cosmologice“, §50-53; şi Critica raţiunii pure (1787), „Antinomiile raţiunii pure, primul conflict de idei transcendentale“, §454 şi urm. Kant arată că argumentele pot fi prezentate atât pro cât şi contra infinităţii spaţiului. Pentru el, originea acestei contradicţii constă în presupunerea implicită că spaţiul şi obiectele sale trebuie luate ca date absolute şi ca legi obiective ale lucrurilor în sine („von Dingen an sich“). Dacă ele sunt înţelese în sensul în care spune Kant, şi anume doar ca imagini mentale (moduri de a privi lucrurile sau fenomenele) ale lucrurilor în sine, atunci „conflictul ideilor“ dispare.

  3. Afirmaţiile lui Rudolf Steiner sunt bazate aici pe descoperirea că geometria euclidiană este inclusă în geometria proiectivă. O linie dreaptă euclidiană dispare la infinit în ambele direcţii, iar direcţiile dreapta şi stânga sunt separate de infinit (punctul de la infinit). O linie dreaptă proiectivă nu are asemenea limite ‒ în privinţa ordonării punctelor sale ea este închisă ca un cerc.

  4. Textul care a fost păstrat este insuficient pentru a stabili dacă Steiner atribuie spaţiului astral o anumită curbă geometrică. O linie dreaptă proiectivă închisă în sine nu este curbată. Este posibil ca Steiner să fi vrut doar să scoată în evidenţă relaţiile structurale de pe o linie dreaptă proiectivă şi felul în care se comportă acestea pe circumferinţa unui cerc.

  5. Aici, de asemenea, se pare că Steiner foloseşte termenul sferă numai pentru a atrage atenţia asupra caracterului închis în sine al spaţiului astral, în sensul unui spaţiu proiectiv. În sens topologic nu este echivalent nici cu planul proiectiv al unei sfere bidimensionale şi nici cu spaţiul proiectiv al unei sfere tridimensionale.
Düsseldorf, 21 aprilie 1909
  1. Această sesiune întrebare-şi-răspuns şi următoarea au avut loc în timpul ciclului de conferinţe Ierarhiile spirituale şi lumea fizică (GA 110). 
Düsseldorf, 22 aprilie 1909
  1. Această afirmaţie nu poate fi găsită în lucrările lui Platon. Vine de la conversaţiile ţinute la masă, povestite de Plutarh, care formează o secţiune a lucrării sale Moralia. Acolo un participant la conversaţie spune: „Dumnezeu face continuu geometrie, dacă această afirmaţie poate fi cu adevărat atribuită lui Platon.“ Plutarh adaugă: „Această afirmaţie nu este de găsit nicăieri în scrierile lui Platon, dar există suficiente dovezi că îi aparţine şi că este în armonie cu caractetul său“ (Plutarh, Moralia, („Quaestiones convivales“, cartea VIII, întrebarea a doua; Stephanus 718c).

  2. Vezi, de asemenea, eseul lui Rudolf Steiner „Matematică şi ocultism“ (1904), în Filosofie şi antroposofie (GA 35).

  3. Vezi notele la întrebările şi răspunsurile din 2 septembrie 1906 şi 28 iunie 1908. Termenul geometrie de poziţie este un nume anacronic al geometriei sintetice proiective.

  4. Din punctul de vedere al geometriei proiective, toate teoremele din geometria euclidiană având de-a face cu poziţiile şi aranjarea punctelor, dreptelor şi planelor (şi fără vreo operaţie de măsurare) sunt văzute ca fiind cazuri particulare sau cazuri limită ale teoremelor de geometrie proiectivă.

  5. Două puncte A şi B ale unei drepte proiective s împart linia în două segmente (figura 91), unul dintre ele include punctul de la infinit al dreptei s. În geometria proiectivă se consideră că ambele segmente leagă punctele A şi B unul de celălalt. În geometria euclidiană, însă se consideră că numai segmentul care nu conţine punctul de la infinit al liniei drepte leagă unul de celălalt cele două puncte A şi B.
    figura 91
  6. Viespea gogoaşei de ristic de pe frunzele de stejar: discuţii similare despre posibilitatea ca părţi individuale ale unui întreg să se poată influenţa reciproc fără a fi în contact spaţial se găsesc şi în conferinţele lui Rudolf Steiner din 22 octombrie 1906 de la Berlin (în GA 96) şi 22 martie 1922 de la Dornach (în GA 222). Niciuna din multele subspecii ale acestor viespi descrise în literatura ştiinţifică nu se potriveşte descrierii lui Rudolf Steiner, dar la câteva din speciile viespilor săpătoare de galerii, în mod special la subspeciile viespilor de nisip, există o porţiune de legătură lungă şi subţire între cap şi abdomen. Se poate ca cel care a luat notele să fi auzit greşit numele insectei.
Berlin, 2 noiembrie 1910
  1. Notele unei sesiuni întrebare-şi-răspuns din timpul unui ciclu de conferinţe „Psychosophie“, în Anthroposophie-Psychosophie-Pneumatosophie (GA 115).

  2. Adăugiri care au fost făcute la textul german de către editorul iniţial pentru a clarifica înţelesul sunt bazate pe conferinţa lui Rudolf Steiner din 7 iunie 1905, iar întrebările şi răspunsurile au avut loc după conferinţa din 17 mai 1905.
Basel, 1 octombrie 1911
  1. Notele unei sesiuni întrebare-şi-răspuns după conferinţa ţinută membrilor intitulată „Eterizarea sângelui. Intervenţia lui Hristos eteric în evoluţia Pământului “, în Creştinismul esoteric şi conducerea spirituală a omenirii (GA 130).
München, 25 noiembrie 1912
  1. Această sesiune întrebare-şi-răspuns a avut loc după o conferinţă despre „Wahrheiten der Geistesforschung" care a fost publicată în periodicul Mensch und Welt: Blätter für Anthroposophie, vol. 20, nr. 5, pp. 167-177. Nu a fost încă publicată în ediţia completă (GA) a operelor lui Rudolf Steiner.

  2. Rudolf Steiner se referă aici din nou la studiile lui Bernhard Riemann, menţionate de câteva ori în conferinţe. Vezi nota l, conferinţa I.

  3. Oskar Simony (1852-1915). Vezi conferinţa lui Rudolf Steiner din 24 martie 1905 (conferinţa I) şi nota 14.

  4. Vezi Rudolf Steiner, Autobiografie (GA 28).

  5. Vezi răspunsurile la întrebările premergătoare şi notele însoţitoare.
Berlin, 13 februarie 1913
  1. Notele unei sesiuni de întrebări şi răspunsuri după o conferinţă publică, ţinută la Berlin în Casa Arhitecţilor, despre „Lionardos geistige Grösse am Wendepunkt zur neuren Zeiten“ (GA 62).

  2. Das Märchen a lui Goethe.

  3. Pentru discuţii ulterioare asupra legii oculte generale a repetiţiei şi repetiţiei cu variaţie vezi Ştiinţa ocultă a lui Rudolf Steiner (GA 13), capitolul 4, „Evoluţia cosmică şi fiinţa umană“. Despre legea repetiţiei ca principiu elementar al lumii eterice, vezi, de exemplu, conferinţa lui Rudolf Steiner din 21 octombrie 1908 (GA 107), unde el ilustrează acest principiu folosind exemplul creşterii unei plante şi scoate în evidenţă repetiţia cu variaţie în procesul continuu al formării frunzei.

  4. Semnificaţia repetiţiilor în cuvântările lui Buddha este, de asemenea, menţionată în conferinţele lui Steiner ţinute în 18 septembrie 1912 (GA 139) şi în după-amiaza zilei de 27 septembrie 1921 (inclusă în GA 343).

  5. Fra Luca Pacioli (c. 1445-1517), care a fost influenţat de Piero della Francesca (1410-1792) şi Leonardo da Vinci (1452-1519), a scris Divina proportione (Veneţia, 1509) folosind desene copiate de la prietenul lui Leonardo. Această scriere era primul studiu complet, concentrat asupra caracteristicilor matematice şi estetice ale Secţiunii de aur.

    Secţiunea de aur (sectio aurea) numită şi „diviziunea constantă“ rezultă din dividerea unui segment de dreaptă în două segmente în aşa fel încât raportul dintre segmentul cel mic şi cel mare să fie acelaşi cu cel existent între segmentul cel mare şi segmentul întreg. Dacă continuăm să divizăm segmentul conform cu Secţiunea de aur, rezultatul este un şir de segmente astfel încât raportul dintre oricare două segmente adiacente este Secţiunea de aur. Aceasta explică termenul diviziune constantă.

    Un alt caz al principiului repetiţiei şi al repetiţiei variate în contextul Secţiunii de aur este apariţia Secţiunii de aur în fracţiile continue. Mai mult decât atât, fracţiile care aproximează aceste fracţii-şiruri sunt raporturile membrilor succesivi ai seriei lui Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8..., care joacă un rol major în aranjarea frunzelor la plante (phyllotaxis) (vezi Coxeter [1981], capitolul 11).
Berlin, 27 noiembrie 1913
  1. Întrebări şi răspunsuri după conferinţa publică „Vom Tode“, ţinută la Berlin în Casa Arhitecţilor (publicată în GA 63).

  2. Conferinţa lui Rudolf Steiner din 19 martie 1914, „Zwischen Tod und Wiedergeburt des Menschen“ (publicată în GA 63).

  3. Ca o completare a acestei sesiuni de întrebări şi răspunsuri vezi, de asemenea, întrebările şi răspunsurile din 7 martie 1920 şi notele însoţitoare.
Stuttgart, 1919
  1. O notă scrisă de Rudolf Steiner ca răspuns la o întrebare pusă de Georg Herberg. Un facsimil al acestei note este inclus în volumul Impulsuri ale ştiinţei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Primul curs de ştiinţe naturale (GA 320); Dornach, 1987, p. 192. Georg Herberg (1876-1963) este unul dintre primii ingineri cu doctorat din Germania, după 1913, inginer consultant independent în domeniul căldurii şi economiei de energie la Stuttgart, cu începere din 1913.
Stuttgart, 7 martie 1920
  1. Întrebări şi răspunsuri în timpul ciclului de conferinţe Căldura la graniţa dintre spaţiu şi anispaţiu. Impulsuri ale ştiinţei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de ştiinţe naturale (GA 321). Aceste întrebări au fost puse de Hermann von Baravalle (1898-1973), profesor de matematică şi fizică la prima şcoală Waldorf din Stuttgart, după o conferinţă a sa asupra teoriei relativităţii (Stuttgart, 7 martie 1920). Până în prezent, nu a fost descoperită nicio transcriere a conferinţei lui Baravalle.

  2. Teoria elasticităţii era unul din ajutoarele folosite de fizicienii secolului al XIX-lea în formularea variatelor lor teorii ale opticii, care presupuneau toate existenţa unui eter fizic cvasimaterial. Mai târziu, teoria electromagnetică a luminii a lui James Clark Maxwell (1831-1879), în conjuncţie cu rezultatul negativ al experienţei deplasării eterului a lui Albert Michelson (1852-1931) şi Edward Morley (1838-1923), a înlocuit ideea unui eter cvasimaterial dar a eşuat în a-l elimina total din fizică. (Despre evoluţia teoriilor eterului şi statutul lor la sfârşitul secolului al XIX-lea şi începutul secolului al XX-lea, vezi Whittaker [1951-1953]).

    În volumul II al conferinţelor sale despre fizica teoretică [ 1944], § 15, Arnold Sommerfeld (1868-1951) discută un model de eter bazat pe ideea unui corp cvasielastic. Acest model îşi are originile în investigaţiile lui James MacCullagh (1809-1847); pentru mai multe informaţii vezi Klein [1926]. Sommerfeld arată că ecuaţiile mişcării acestui corp iau forma ecuaţiilor electrodinamice ale lui Maxwell pentru spaţiul vid.

    Friedrich Dustmann [1991] arată că acest model de eter îndeplineşte toate cerinţele pentru o teorie a luminii pe care o prezintă Steiner aici şi în alte părţi. În plus, baza acestui model de eter cvasielastic este un tensor antisimetric specific, care din punct de vedere geometric reprezintă un complex liniar, formând astfel o punte către teoria numerelor hipercomplexe, pe care Steiner o menţionează în răspunsul său la o întrebare pusă de Strakosch la 11 martie 1920. (Pentru mai multe despre acest subiect vezi Gschwind [1991], în mod special secţiunea 8.5 şi [1986], pp. 158-161.)

    Nu mai este posibil să stabilim dacă Steiner se referea aici indirect la scrieri despre teoria mecanică şi elastică a luminii şi dacă se gândea la o extensie potrivită sau la un suplement la teoriile din vremea sa. În orice caz, trebuie să ţinem cont că sugestiile lui Steiner pentru transformarea sau reformularea unei teorii despre eter pentru matematică şi fizică nu trebuie imaginate doar în contextul unei fenomenologii pur materiale şi energetice a luminii; vezi răspunsurile lui Steiner la întrebări din 31 martie 1920 (Blümel) şi din 15 ianuarie 1921 precum şi notele insoţitoare. Din acest punct de vedere remarcile lui Steiner, de aici şi din pasajele care urmează, nu sunt de interpretat ca o critică la fundamentele ştiinţifice ale teoriei speciale a relativităţii a lui Einstein, ci mai degrabă ca un apel la o completare potrivită a perspectivelor fizicii prin metodele şi conceptele ştiinţei antroposofice a spiritului (vezi, de asemenea, conferinţa sa din 6 ianuarie 1923, în GA 326).

    Remarci asemănătoare ale lui Steiner privind oscilaţia elastică/ intoarcerea luminii, sunt de găsit în conferinţa sa din 6 decembrie, 1919 (GA 194), în conferinţa către profesori din 25 septembrie 1919 (GA 300a) şi în conferinţa din 16 februarie 1924 (GA 235). Afirmaţii similare despre comportamentul energiei se găsesc în întrebările şi răspunsurile din 12 noiembrie 1917 (GA 73).

  3. Albert Einstein (1879-1955), fizician la Zürich, Berlin şi Princeton; fondatorul teoriei speciale a relativităţii şi a teoriei generale a gravitaţiei.

    Singurul pasaj din scrierile lui Steiner adresat teoriei speciale a relativităţii se află în Enigmele filosofiei (GA 18), pp. 590-593. Acest pasaj este de importanţă fundamentală pentru evaluarea tuturor comentariilor lui Steiner despre teoria relativităţii din conferinţe şi sesiuni de tip întrebare-şi-răspuns. Pentru a clarifica concepţia de bază a lui Steiner asupra teoriei relativităţii, acest pasaj va fi citat aici în întregime:

    „O nouă direcţie în gândire a fost stimulată de încercarea lui Einstein de a transforma conceptele fundamentale ale fizicii. Până acum fizica a descris fenomenele accesibile ei imaginându-le aranjate în spaţiul gol tridimensional şi în timpul unidimensional. Astfel, se presupunea că spaţiul şi timpul există în cantităţi fixate, în afara obiectelor şi evenimentelor şi independent de ele. Cu privire la obiecte se măsurau distanţe în spaţiu; cu privire la evenimente se măsurau durate în timp.  Conform cu această concepţie despre spaţiu şi timp, distanţa şi durata nu aparţin obiectelor şi evenimentelor. Această concepţie a fost  contracarată de teoria relativităţii introdusă de Einstein. Din această perspectivă distanţa dintre două obiecte aparţine obiectelor însele. ( O anumită distanţă de la un alt obiect este un atribut, o proprietate a obiectului ca oricare alta pe care el o posedă. Relaţiile dintre ele sunt inerente obiectelor, iar în afara acestor relaţii nu există ceea ce noi numim spaţiu. Presupunerea existenţei independente a spaţiului face posibilă conceperea unei geometrii pentru acel spaţiu, o geometrie care poate fi aplicată lumii obiectelor. Această geometrie apare în lumea gândurilor pure, iar obiectele trebuie să i se supună. Putem spune că în lume relaţiile trebuie să se supună legilor care au fost formulate în gândire înainte ca obiectele să fie observate. Teoria relativităţii detronează această geometrie. Numai obiectele există, obiecte ale căror relaţii pot fi descrise în termenii geometriei. Geometria devine o parte a fizicii. În acest caz, nu mai putem spune că legile geometriei pot fi enunţate înainte ca obiectele să fie observate. Niciun obiect nu are o poziţie în spaţiu, ci doar distanţe relative faţă de alte obiecte.

    El admite ceva similar şi despre timp. Niciun eveniment nu există la un anumit moment în timp; se întâmplă la o distanţă temporală de un alt eveniment. Astfel distanţele spaţiale şi temporale între obiecte aflate în legătură sunt similare şi curg împreună. Timpul devine a patra dimensiune care este similară cu cele trei dimensiuni ale spaţiului. Un eveniment petrecut cu un obiect poate fi descris numai ca având loc la o distanţă spaţială şi temporală de alte evenimente. Mişcarea unui obiect poate fi concepută numai petrecându-se în relaţie cu alte obiecte. Numai de la acest punct de vedere se aşteaptă să ofere explicaţii neeronate ale anumitor procese din fizică, pe când presupunerea existenţei unui spaţiu independent şi a unui timp independent conduce la gânduri contradictorii referitor la aceste procese.

    Când luăm în considerare faptul că mulţi gânditori au acceptat numai acele aspecte ale ştiinţelor naturale care pot fi prezentate în termeni matematici, teoria relativităţi nu conţine nimic altceva decât anularea oricărei ştiinţe reale despre natură, întrucât aspectul ştiinţific al matematicii era considerat înainte a consta în abilitatea sa de a stabili legile spaţiului şi timpului independent de observaţiile asupra naturii. Acum, din contra, se spune că obiectele naturale şi procesele naturale determină relaţiile spaţiale şi temporale; aceste obiecte şi evenimente trebuie să furnizeze matematica. Singurul factor cert este abandonat incertitudinii.

    Conform cu acest punct de vedere, fiecare gând despre o realitate esenţială care îşi manifestă natura în existenţă este exclus. Totul este doar raportat la altceva.

    În măsura în care noi fiinţele umane ne uităm la noi înşine în contextul obiectelor şi proceselor naturale nu vom fi în stare să scăpăm de concluziile acestei teorii a relativităţii. Dacă totuşi experienţa noastră despre noi înşine ca fiinţe ne păzeşte de a ne pierde în pure relativităţi ca într-o stare de paralizie sufletească, nu ne va mai fi permis să căutăm fiinţare intrinsecă în domeniul naturii, ci doar deasupra şi dincolo de natură, în regatul spiritului.

    Nu vom scăpa de teoria relativităţii cu privire la lumea fizică, dar ea ne va conduce în cunoaşterea spiritului. Semnificaţia teoriei relativităţii constă în sublinierea necesităţii de cunoaştere a spiritului care este căutată prin mijloace spirituale şi independent de observaţiile noastre asupra naturii. Faptul că teoria relativităţii ne forţează să gândim în acest mod îşi arată valoarea în evoluţia concepţiei noastre despre lume.“

    Pentru discuţii ulterioare despre probleme specifice privitoare la teoria relativităţii adresate de această sesiune de întrebări şi răspunsuri, vezi Unger [1967], capitolul VIII, şi Gschwind [1986] şi literatura pe care ei o citează. Vezi, de asemenea, adăugirile la această notă în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, nr. 114/115, p. 41, Dornach, 1995.

    Rudolf Steiner a vorbit în mod repetat despre teoria relativităţii şi în mod aparent nu a făcut o deosebire clară între teoria specială a relativităţii şi teoria generală a gravitaţiei, pe care Einstein a numit-o de asemenea teoria generală a relativităţii. Următoarele conferinţe şi sesiuni de întrebări şi răspunsuri (Î&R) discută sau menţionează teoria relativităţii (TR). Lista nu pretinde că este exhaustivă.

    Conferinţa
    Anul
    GA
    Pagina
    Cuvinte cheie
    27 noiembrie
    1913
    324a
    Î&R
    TR, viteză

    1914
    18
    590-593
    Einstein, TR, spaţiu, timp
    20 august
    1915
    164
    251-267
    Viteză, Flammarion (lumen), Einstein, Minkovski, Planck, Poincare
    15 aprilie
    1916
    65
    657-658
    Conceptul de eter al lui Planck, gravităţie
    21 august
    1916
    170
    178-181
    TR, Einstein, Lorentz
    7 august
    1917
    176
    239
    TR, Einstein
    29 august
    1919
    294
    121-123
    Gravitaţie, TR, Einstein
    25 septembrie
    1919
    300a
    92-93
    TR, Einstein, Lorentz
    1 martie
    1920
    321
    20-22
    Einstein, TR, refracţia şi difracţia luminii
    3 martie
    1920
    321
    57
    Einstein, TR, a patra dimensiune
    7 martie
    1920
    324a
    Î&R
    Viteza luminii, TR, Einstein, (Baravalle) difracţia luminii
    7 martie
    1920
    324a
    Î&R
    Ecuaţia masă-energie, (Herberg) Einstein
    24 martie
    1920
    73a
    ediţie specială,
    1950
    12-13
    Einstein, Lorentz, masă/energie
    27 martie
    1920
    73a
    ediţie specială,
    1950
    45-51
    TR, eter, viteza luminii, Einstein, Mie, Nordstrom
    31 martie
    1920
    324a
    Î&R
    Conceptul de eter al lui Planck, TR, materie imponderabilă
    18 aprilie
    1920
    201
    90-91
    Einstein, TR
    24 aprilie
    1920
    201 129-131
    TR, gravitaţie, Einstein
    1 mai  
    1920
    201 163
    TR, teoria mercurului !
    15 mai
    1920
    201 233
    Einstein, TR, gravitaţie
    22 septembrie
    1920
    300a
    233
    Einstein (menţionat)
    15 octombrie
    1920
    324a
    Î&R
    TR, viteză, Einstein
    15 ianuarie
    1921
    324a
    Î&R
    TR, Einstein (menţionat)
    7 aprilie
    1921
    76/324a
    Î&R
    TR, logică (menţionată)
    12 aprilie
    1921
    313
    30
    Eter, Einstein (menţionat)
    27 iunie
    1921
    250f


    28 iunie
    1921
    205
    42-13, 51
    Einstein, TR
    8 iulie
    1921
    205 150-151
    Einstein, TR, logică
    7 august
    1921
    206
    110
    Einstein, TR (menţionată)
    14 octombrie
    1921
    339
    74
    Einstein, TR (menţionată)
    15 octombrie
    1921
    207
    168-169
    TR (menţionată)
    4 noimebrie
    1921
    208 137
    Einstein, TR (menţionată)
    31 decembrie
    1921
    209
    186
    Einstein (menţionat)
    15 martie
    1922
    300b
    77
    Einstein (menţionat)
    12 aprilie
    1922
    82/324a
    Î&R
    TR, Einstein, absoluturi
    27 decembrie
    1922
    326
    68
    TR, Newton (menţionat)
    2 ianuarie
    1923
    326
    113
    TR (menţionată)
    28 iulie
    1923
    228
    25-30
    TR, Einstein, lumină
    29 iulie
    1923
    228 52-53
    TR, Einstein, gravitaţie
    29 iulie
    1923
    291
    209-210
    TR, Einstein, gravitaţie
    15 septembrie
    1923
    291
    126-127
    TR, Einstein
    16 noiembrie
    1923
    319
    Î&R, 141
    TR, proprietăţi
    2 ianuarie
    1924
    316
    25
    TR (menţionată)
    20 februarie
    1924
    352
    Î&R, 152
    Einstein, TR
    27 februarie
    1924
    352
    175-191
    Einstein, TR, Copernic, astronomie
    1 martie
    1924
    235
    84-85
    TR (menţionată)
    16 aprilie
    1924
    309
    64
    TR, Einstein (menţionat)
    30 aprilie
    1924
    300c
    159-160
    TR
    17 mai
    1924
    353
    248
    TR (menţionată), astronomie
    20 iulie
    1924
    310
    75-76
    TR, Einstein, sunet
    22 iulie
    1924
    310
    116
    TR (menţionată)
    19 august
    1924
    311
    120-121
    TR, Einstein


  4. Acest pasaj face clar faptul că critica făcută de Steiner gândurilor lui Einstein nu are de-a face cu fundamentarea lor ştiinţifică, ci mai degrabă cu faptul că ele au fost aplicate contextelor şi domeniilor de viaţa care nu mai pot fi atribuite exclusiv fizicii ca o ştiinţă anorganică.


  5. Astronomul şi fizicianul britanic Arthur Eddington (1882-1944) a condus un test experimental al prezicerii lui Einstein că razele de lumină sunt influenţate de câmpurile gravitaţionale (aberaţie gravitaţională). Testul trebuia să măsoare schimbarea poziţiei aparente a stelelor fixe apropiate Soarelui în timpul unei eclipse solare. (Nota traducătorului: adică cu poziţia apropiată de cea a Soarelui, poziţie pe sfera cerească care este dată de două coordonate, de obicei unghiuri, fără să conteze distanţele până la Soare sau Pamânt. Procedeul constă în determinarea cu precizie a poziţiilor acelor stele cu coordonate cereşti apropiate de cele ale Soarelui în timpul în care acesta este eclipsat total de către Lună. Aceste coordonate sunt apoi comparate cu coordonatele aceloraşi stele, măsurate în timpul în care Soarele se află, să spunem, în partea opusă a sferei cereşti.) Două expediţii britanice (una dintre ele pe coasta vestică a Africii, iar cealaltă în nordul Braziliei) au fost desemnate să fotografieze vecinătatea Soarelui în timpul eclipsei de Soare din 29 mai 1919 şi să le compare cu poziţiile cunoscute ale stelelor. (Nota traducătorului: cele măsurate atunci când Soarele se afla în altă parte a cerului.) Rezultatul a fost publicat la 6 noiembrie 1919 şi proclamat ca un triumf al teoriei lui Einstein. Devierea de la marginea discului solar, aşa cum prezice teoria lui Einstein, era de aproximativ 1,75 secunde de arc. S-au ridicat imediat întrebări dacă acurateţea măsurătorilor era suficientă pentru a confirma teoria lui Einstein. Totuşi obiecţia lui Steiner are mai puţin de-a face cu inacurateţea tehnicilor de măsurare ale contemporanilor săi, care au fost mai târziu înlocuite pe măsură ce acest experiment şi altele au fost repetate, cât cu o chestiune de principiu, şi anume dacă o confirmare experimentală cantitativă, chiar foarte precisă, a unui model matematic teoretic constituie o garanţie adecvată că modelul este adevărat sau corespunde realităţii.

    În comentariile sale asupra scrierilor de ştiinţe naturale ale lui Goethe, Istoria teoriei culorilor, partea I, diviziunea 6: Personalitatea lui Newton, Steiner scrie despre această problemă: „Judecăţile matematice, ca oricare altele, sunt rezultatul anumitor presupuneri care trebuie acceptate ca adevărate. Dar pentru a aplica aceste presupuneri în mod corect experienţei, aceasta trebuie să corespundă concluziilor acelui rezultat. Nu putem trage totuşi concluzia opusă. Un fapt empiric poate să corespundă foarte bine concluziilor matematice la care am ajuns şi totuşi în realitate presupunerile care se aplică pot să nu fie cele ale unei cercetări ştiinţifice matematice. De exemplu, faptul că fenomenul interferenţei şi refracţiei luminii coincid cu concluziile teoriei ondulatorii a luminii nu înseamnă că ultima trebuie să fie adevărată. Este complet greşit să presupunem că o ipoteză trebuie să fie adevărată dacă faptele empirice pot fi explicate prin ea. Aceleaşi efecte se pot datora unor cauze diferite, iar justificarea pentru presupunerea pe care trebuie să o acceptăm trebuie demonstrată direct, şi nu într-un mod ocolit prin folosirea consecinţelor pentru a le confirma“ (Ştiinţa goetheană, editată de Rudolf Steiner, vol. 4, GA1d).

  6. Vezi Einstein, Principiul relativităţii [1911]:

    „Situaţia este cât se poate de comică când ne imaginăm făcând acest ceas să zboare cu o viteză constantă (aproape egală cu c) şi într-o direcţie constantă. După ce a parcurs o distanţă mare, îi dăm un impuls în direcţia opusă, aşa încât se întoarce la poziţia iniţială de unde a fost aruncat în spaţiu. Descoperim apoi că arătătoarele abia dacă s-au mişcat în timpul acestei întregi călătorii, în timp ce arătătoarele unui ceas identic care a rămas nemişcat la punctul de plecare, pentru tot timpul, s-au mişcat considerabil. Trebuie să adăugăm că ceea ce este adevărat în cazul acestui ceas, introdus de noi ca reprezentativ pentru toate evenimentele din fzică, se aplică de asemenea oricărui sistem închis. De exemplu, un organism viu pe care îl aşezăm într-o cutie şi îl supunem aceleiaşi mişcări ca a ceasului ar trebui să rămână relativ neschimbat la întoarcerea la punctul iniţial, după zbor, în timp ce un organism similar care rămâne în acelaşi loc ar trebui să dea de mult naştere la noi generaţii. Pentru un organism ce se mişcă aproximativ cu viteza luminii, timpul lung de călătorie s-ar însuma la doar un moment. Aceasta este o consecinţa de netăgăduit a principiilor de bază pe care ni le impune experienţa ...

    Teoria relativităţii are mai multe concluzii importante pentru fizică, care trebuie menţionate aici. Spunem că în conformitate cu teoria relativităţii un ceas care se mişcă funcţionează mai încet decât unul identic care nu este în mişcare. Nu vom fi probabil niciodată în stare să folosim un ceas de buzunar pentru a verifica această afirmaţie pentru că viteza care poate fi imprimată unui ceas este minusculă în comparaţie cu viteza luminii. Totuşi natura furnizează obiecte care au un caracter asemănător ceasului şi care pot fi făcute să se mişte foarte rapid, şi anume atomii care produc liniile spectrale. Prin folosirea unui câmp electric aceşti atomi pot atinge viteze de câteva mii de kilometri pe secundă (raze canal). Conform cu teoria, este de aşteptat ca influenţa mişcării acestor atomi asupra frecvenţei lor de oscilaţie să fie similară cu ceea ce am dedus cu privire la ceasurile care se mişcă.“
    În mod clar, Einstein nu ezită să extindă teoria sa, care este bazată numai pe consideraţii aparţinând domeniului fizicii, asupra obiectelor care nu aparţin doar acestui domeniu. Astfel, el pretinde implicit că teoria relativităţii nu cuprinde doar sisteme aparţinând domeniului fizicii în sensul restrâns, ci că întregul Cosmos se supune acestei teorii. Această concepţie relativ nediscriminatorie este principalul motiv al obiecţiilor severe ale lui Steiner la ceea ce el numeşte abstracţionismul şi lipsa realităţii în gândirea lui Einstein.

    Faptul că Einstein chiar alege să nu recunoască vreo diferenţă semnificativă între diferitele domenii ale realităţii reiese cu claritate dintr-un raport contemporan scris de Rudolf Lämmel (1879-1971), un fizician şi înfocat popularizator al teoriei relativităţii a lui Einstein. În cartea sa, Die Grundlagen der Relativitätstheorie [1921], Lămmel spune:

    „Cea mai ciudată consecinţă a acestor noi idei ale teoriei relativităţii este aceasta: distanţele sunt mai scurte pentru observatorii aflaţi în repaus decât pentru cei care le parcurg. La fel, timpul petrecut pare a fi mai lung pentru un observator aflat «în repaus» decât pentru unul care călătoreşte odată cu ceasul [...]. Astfel, dacă trimitem astăzi o expediţie în spaţiu, călătorind cu jumătate din viteza luminii, când călătorii se întorc, cu aceeaşi viteză, după 11 ˝ ani de absenţă, ei vor afirrna că au petrecut pe drum exact zece ani [...].

    Astfel, la întrebările «Cât de lungă este această distanţă?» şi «Cât de lungă este această durată?» nu se mai poate răspunde în termeni absoluţi, ci doar în raport cu anumiţi observatori, deci relativ. Această intuiţie nu mai este doar o remarcă filosofică, ci o relaţie matematică confirmată.

    În conferinţele sale de la Societatea de fizică şi de la Societatea pentru cercetarea naturii din Zürich, Einstein a reluat exemplul de mai sus despre durata unei călătorii spaţiale şi a conchis că, în anumite circumstanţe, exploratorii şi-ar putea găsi la întoarcere contemporanii de odinioară considerabil îmbătrâniţi, în timp ce ei înşişi călătoriseră doar timp de câţiva ani. Acest autor contesta pretenţia lui Einstein şi afirma că concluzia se putea aplica la unităţile de măsură şi la ceasuri, dar nu la fiinţe vii. Totuşi Einstein a replicat că în ultimă instanţă toate procesele care au loc în sângele nostru, nervii noştri ş.a.m.d. sunt oscilaţii periodice, deci mişcări. De vreme ce principiul relativităţii se aplică tuturor mişcărilor, concluzia despre îmbătrânirea inegală este de admis! “ (pp. 84 şi urm.).

    Pentru mai multe detalii despre dezbaterea asupra teoriei relativităţii de-a lungul primelor decenii ale secolului al XX-lea, vezi studiile complete ale lui Hentschel [1990].

  7. Chestiunea în cauză a devenit cunoscută mai târziu sub numele de „paradoxul gemenilor“. Vezi pasajul comparabil în întrebările şi răspunsurile din 15 octombrie 1920.

  8. Vezi nota 36, despre teoria eterului.

  9. Vezi explicaţia completă dată de Steiner în conferinţa sa din 20 august 1915 (GA 164). Dacă formula s = c × t este interpretată ca o ecuaţie cu cantităţi, atunci este inevitabil să conchidem că t este de o dimensiune diferită de cea a lui s şi c. În orice caz, t nu este în mod cert adimensional şi nu asta este ceea ce a vrut să spună Einstein pentru că rezultatul ar fi fără sens în calculul dimensional al fizicii. Intenţia lui Steiner nu este de a corecta calculul dimensional, ci mai degrabă de a semnala problema realităţii cantităţilor şi calculelor care apar în fizică. În acest sens, nu poate fi atribuită nicio realitate cantităţii t, deşi în formule ea trebuie să apară ca având o anumită dimensionalitate. „Timpul“ t nu este un factor adimensional, ci unul fără realitate ‒ adică este un număr pur fără realitate.

  10. Vezi următoarele pasaje despre viteză ca realitate în: întrebări şi răspunsuri din 27 noiembrie 1913; conferinţele din 20 august 1915 (GA 164), 6 decembrie 1919, 27 decembrie 1919 şi 2 ianuarie 1920 (GA 320); întrebări şi răspunsuri din 15 octombrie 1920; conferinţa din 6 ianuarie 1923 (GA 326).

  11. În acest punct vezi Introduceri la scrierile de ştiinţe naturale ale lui Goethe de Rudolf Steiner (GA 1), capitolul XVI. 2, „Fenomenul originar“.

  12. Steiner se referă aici la mişcarea neprotejată prin aer, şi nu la călătoria în avioane sau vehicule asemănătoare. Vezi pasajele comparabile din conferinţele sale din 7 august 1917 (GA 176); 25 septembrie 1919 (GA 300a); 27 iunie 1921 (GA 250f); 28 iunie 1921 (GA 205); 30 aprilie 1924 (GA 300c); 20 iulie 1924 (GA 310).
Stuttgart, 7 martie 1920
  1. Răspunsuri la întrebări ridicate de Georg Herberg în timpul ciclului de conferinţe Căldura la graniţa dintre spaţiu şi anispaţiu. Impulsuri ale ştiinţei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de ştiinţe naturale (GA 321).

  2. Data acestei sesiuni de întrebări şi răspunsuri nu poate fi stabilită cu precizie pe baza documentelor din arhiva Rudolf Steiner. Este improbabil ca întrebările să fi fost puse la 13 martie 1920 ‒ timpul atribuit lor de către Hans Schmidt în cartea sa Das Vortragwerk Rudolf Steiners, Dornach 1978, a doua ediţie lărgită, p. 319 ‒ pentru că teoria relativităţii nu era menţionată în niciuna din conferinţele lui Steiner de la acea dată sau în conferinţa lui Eugen Kolisko despre „chimia liberă de ipoteze“ de la aceeaşi dată. Felul în care a abordat Steiner întrebarea sugerează că ea poate aparţine sesiunii precedente de întrebări şi răspunsuri (7 martie 1920) care a avut loc după conferinţa lui Hermann von Baravalle Despre teoria relativităţii.

  3. Cuvântul rotaţie din notiţele documentului pare a fi fără sens în acest context şi a fost înlocuit de cuvântul radiaţie.

  4. Steiner se referă aici la fenomenul conductanţei electrice în gazele rarefiate şi în particular la razele catodice ‒ adică la fasciculele de electroni de mare viteză emişi de catodul unui tub vidat. Remarcile lui Steiner coincid cu concepţia fizicienilor despre acest subiect.

    Energia cinetică care este atribuită electronilor individuali (cu sarcina electrică e) de către un câmp electric de voltaj U joacă un rol determinant în toate calculele referitoare la razele catodice. Mai mult, forţa K (forţa lui Lorentz) cu care este deviată o sarcină e într-un câmp magnetic B depinde de viteză:

    K = evB

    (Nota traducătorului: de fapt, este vorba despre produsul vectorial dintre vectorul viteză şi vectorul câmpului magnetic. Formula amintită in text se referă la valorile absolute ale vectorilor şi numai în cazul particular în care electronul intră în câmpul magnetic pe o direcţie perpendiculară pe vectorul câmpului magnetic.)

    Despre subiectul razelor catodice vezi, de asemenea, conferinţa lui Steiner din 2 ianuarie 1920 (GA 320).

  5. Formula lui Einstein stabileşte proporţionalitatea energiei cu materia inertă. Este adesea considerată cel mai important rezultat al teoriei speciale a relativităţii. Aşa cum este cazul cu alte formule de bază din fizică, nu există demonstraţii reale, dar în cel mai bun caz anumite justificări (vezi mai jos) ale formulei E= mc2. Astfel, această formulă este văzută ca un postulat aflat la baza fizicii relativiste.

    Conform lui Einstein [1917], § 15, unde c este viteza luminii, energia cinetică a unui corp cu masa de repaus m mişcându-se cu viteza v este

    Dacă dezvoltăm în serie expresia de mai sus, Ekin pentru energie cinetică, rezultatul este

    Dacă v << c termenul rămânând în cazul limită nonrelativistic → 0 este mc2 + mv

    Astfel, dacă e ca mecanica nonrelativistă să rezulte din mecanica relativistă, energia de repaus mc2 trebuie adăugată la energia cinetică obişnuită mv2 (pentru că în cazul limită  → 0)

    Aceasta nu schimbă cu nimic mecanica nonrelativistă pentru că mc2 este o constantă care influenţează numai punctul zero, convenţional ales, al scalei energiei.

  6. Acest pasaj în notiţe este următorul: „...masa ei energia sunt numai noi deghizări ale vechii formule p.g. energie (energia potenţială gravitaţională)“. Nu a fost posibil să reconstruim înţelesul acestei formule, în cazul în care ea a fost corect înregistrată. Ceea ce s-a intenţionat aici este probabil formula pentru energia potenţială U a unui corp de masă m în câmpul gravitaţional:

    U = mgz

    unde g este constanta gravitaţională (nota traducătorului: valoarea acceleraţiei gravitaţionale, adică 9.81 m/s2), iar z este a treia coordonată (nota traducătorului: este vorba de câmpul gravitaţional creat de Pământ, iar z este înălţimea la care se află corpul în cauză faţă de sol). De fapt, gândurile prezentate în nota 40 arată că E = mc2 joacă rolul unui fel de energie potenţială (energie de repaus), deşi nu este în mod direct semnificativă pentru calculele din mecanica nonrelativistă.

  7. Dacă p este interpretat ca forţă în sensul de potentia, atunci formula W = p × s reprezintă lucrul mecanic W efectuat de o forţă constantă p de-a lungul unei distanţe s.
Stuttgart, 11 martie 1920
  1. Întrebările puse de Ernst Blümel (1884-1952) după conferinţa sa „Über das Imaginäre und den Begriff des Unendlichen und Unmöglichen“ din 11 martie 1920. Blümel a predat matematica la şcoala de educaţie continuă de la Goetheanum şi în prima şcoală Waldorf de la Stuttgart. Până in prezent nu a fost găsită nicio stenogramă a transcrierilor acestei conferinţe.

  2. Ernst Müller (1884-1954) matematician, scriitor ei savant în ebraică şi cabalistică a ţinut o conferinţă despre „Methoden der Mathematik“ la Stuttgart, la 8 martie 1920. Până in prezent nu a fost găsită nicio stenogramă a conferinţei lui Müller şi nici vreo înregistrare a răspunsurilor lui Steiner la întrebarea lui.

  3. Pentru discuţii ulterioare despre metamorfoza oaselor lungi în oase ale capului vezi, de asemenea, conferinţele lui Steiner din 1 septembrie 1919 (GA 293); 10 aprilie 1920 (GA 201); 1, 10, 11, 15 şi 17 ianuarie 1921 (GA 323).

  4. Despre realitatea numerelor imaginare vezi, de asemenea, conferinţele lui Steiner din 12 martie 1920 (GA 321) şi 18 ianuarie 1921 (GA 323).

  5. Conferinţe despre fizică: Rudolf Steiner, Căldura la graniţa dintre spaţiu şi anispaţiu. Impulsuri ale ştiinţei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de ştiinţe naturale (GA 321). Vezi îndeosebi conferinţele din 10 şi 11 martie 1920.

  6. Compară pasajele care urmează cu conferinţele lui Steiner din 12 şi 14 martie 1920 (GA 321). O colecţie de materiale cu privire la un experiment despre curbarea spectrului prin folosirea unui magnet puternic poate fi găsită in Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, vol. 95/96, 1987.

  7. O variantă a textului spune: „Roşul conform poziţiei iese în afară“.

  8. Vezi explicaţiile lui Steiner despre eter ei spaţiul negativ în conferinţele sale din 8, 15 şi 18 ianuarie 1921 (GA 323); sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 7 aprilie 1921 (GA 76); conferinţele din 8 şi 9 aprilie 1922 (GA 82) şi întrebările şi răspunsurile din 12 aprilie 1922 (GA 82).

  9. În timpul unei conferinţe ţinute la 11 mai 1917 (GA 174b), Rudolf Steiner vorbeşte despre o experienţă personală în timpul unui curs la Universitatea din Viena. Conform cu cele spus de Steiner, Leo Königsberger (1837-1921), un bine-cunoscut matematician al momentului, a respins conceptul numerelor hipercomplexe deoarece acestea ar conduce la divizori ai lui zero. Aşa cum numerele complexe câştigau încet recunoaştere, numerele hiperimaginare sau hipercomplexe erau doar în silă acceptate de matematicieni. Diferenţa de opinie dintre adepţii calculului cu quaternioni, datând de la William Rowan Hamilton (1805-1865), şi adepţii analizei vectoriale dezvoltată de Oliver Heaviside (1850-1925) şi Josiah Gibbs (1839-1903) forma fundalul dezbaterilor la care face Rudolf Steiner aluzie aici. La început, analiza vectorială a câştigat întâietate în aplicaţiile practice din cauza progresului în fizica teoretică care a însoţit dezvoltarea sa. Totuşi aproximativ în acelaşi timp dezvoltarea algebrei abstracte a dus la descoperirea şi clasificarea diferitelor sisteme de numere hipercomplexe. Pentru mai multe informaţii asupra dezbaterii sus-menţionate, vezi Schouten [1914] (introducere) şi Crowe [1967]. Despre istoria descoperirii şi rafinării sistemelor de numere hipercomplexe, vezi Van der Waerden [1985]; despre matematica numerelor hipercomplexe vezi Ebbinghaus şi alţii [1988], partea B. Acestea şi alte sisteme generalizate de numere au multe aplicaţii în fizica modernă teoretică; vezi Gschwind [1991] şi Bibliografia acestei cărţi.

  10. În conferinţa sa din 11 mai 1917 (GA 174b), Rudolf Steiner spune că a devenit conştient de problema matematică a divizorilor lui zero în timpul unei conferinţe ţinute de Leo Königsberger. Divizorii lui zero sunt numere generalizate al căror produs este zero, deşi numerele nu sunt egale cu zero. (Nota traducătorului: se ştie că factorii unui produs de numere întregi sunt divizori ai numărului rezultat prin înmulţire şi că în general dacă un produs de numere reale este egal cu zero atunci este obligatoriu ca măcar unul dintre factorii produsului să fie egal cu zero. Această afirmaţie este aproape de la sine înţeleasă în cazul numerelor reale. Există însă posibilitatea de a „dota“ mulţimea numerelor reale sau complexe cu alte legi de „compoziţie“, adică cu altă adunare, cu altă înmulţire decât cele cu care suntem noi obişnuiţi. În asemenea cazuri, e posibil ca rolul elementului neutru la adunare, adică ceea ce noi numim zero, să fie jucat de alte numere. Aceeaşi situaţie apare atunci când avem de-a face cu „numere“ exotice şi nu numai cu legi de compoziţie exotice. Mai mult, există cazuri în care noua lege de „înmulţire“ să ducă la situaţia bizară în care „produsul“ a două astfel de „numere“ exotice să fie „zero“ deşi fiecare din cei doi factori ai „produsului“ sunt diferiţi de „zero“. Astfel de „numere“ se numesc divizori ai lui zero.) Königsberger menţionează această problemă în prima conferinţă din cartea sa Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Funktionen [1874], pp. 10-12, unde vorbeşte despre existenţa numerelor hipercomplexe: „Presupunând că valabilitatea regulilor de calcul obişnuite pentru toate cantităţile aritmetice rămâne o condiţie care trebuie îndeplinită, dacă cantităţile de acest gen pot fi încorporate în calcule pur aritmetice, calcule care le implică şi care sunt făcute conform regulilor stabilite pentru numerele discutate anterior, atunci trebuie să conducă la rezultate care să nu contrazică teoremele principale ale aritmeticii care au fost descoperite pentru numere reale şi complexe imaginare. (Nota traducătorului: în realitate un număr complex este o pereche ordonată de numere reale [a,b]. Aceste „numere“ se pot compune folosind o lege de adunare şi una de înmulţire definite în mod special, şi anume:
    [a,b]*[c,d] = [a+b,c+d] (adunarea)
    [a,b]×[c,d]=[a∙c−b∙d,a∙d+b∙c] (înmulţirea),
    unde „+“ este adunarea obişnuită iar „∙" este înmulţirea obişnuită, folosite în mulţimea numerelor reale.
    Astfel, folosind aceste legi de compoziţie, se poate dovedi cu uşurinţă că orice număr complex [a,b] se poate scrie astfel:
    [a,b] = [a,0]*[b,0]x[0,1].
    Apoi s-a observat că asupra numerelor de tipul [x,0] noile legi au efectul pe care îl au legile de adunare şi înmulţire obişnuite asupra numerelor reale x. Într-adevăr:
    [x,0]*[y,0] = [x+y,0]
    [x,0]×[y,0] = [x∙y−0∙0,x∙0+0∙] = [x∙y,0]
    Ca urmare se pot asocia-identifica numerele complexe de tipul [x,0] cu numerele reale x.
    Pe de altă parte:
    [0,1]×[0,1] = [−1,0]
    care, în virtutea aceleaşi asocieri, este identificat cu −1. În mulţimea numerelor reale nu există niciun număr cu proprietatea că înmulţit cu el însuşi îl furnizează pe −1. De aceea [0,1 ] este numit număr imaginar şi este notat cu i.
    Ca urmare:
    [a,b] = a * b×i,
    unde i2 = −1.
    În calcule este folosită această formă a numărului complex utilizându-se semnul + în loc de *.)

    Astfel, în conformitate cu regulile pentru expresii pluriparticulate, înmulţirea a două numere de acelaşi tip dă naştere unui număr de acelaşi tip, iar produsul nu poate dispărea (nu poate deveni zero) decât dacă unul din factori devine zero.“

    Pasajul care urmează demonstrează concret că produsul a două asemenea numere hipercomplexe poate să dispară într-adevăr fără ca unul dintre factori să fie egal cu zero, „ceea ce contrazice regula de bază pentru numere reale după care un produs nul se poate obţine numai dacă dispare unul dintre factori“. Mai târziu, Steiner a primit o copie a articolului lui Oskar Simony Über zwei universelle Verallgemeinungen der algebraischen Grundoperationen [1885], cu o dedicaţie personală a autorului. Simony discută problema existenţei divizorilor lui zero chiar la începutul articolului său care este dedicat construcţiei concrete a două sisteme de numere hipercomplexe, dintre care unul include divizori ai lui zero ([1885], §8). Materiale adiţionale despre acest subiect pot fi găsite în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, vol. 114/115, Dornach, 1995, p. 5. Lucrarea lui Schouten [1914], de asemenea cu o dedicaţie personală pentru Rudolf Steiner, include o introducere la sistemele de numere hipercomplexe (pe care Schouten le numeşte sisteme asociative); divizorii lui zero sunt menţionaţi la p. 15.

  11. Vezi cercetările lui Gschwind [1991] şi lista referinţelor pentn lectură ulterioară.

  12. În transcrierile dactilografiate apare „paralelepopode rotaţionale“, termen care nu există în matematică şi asta se datorează une greşeli în transcriere. Din context pare improbabil ca termenul de mai sus să fi fost intenţionat. În toate stenogramele pe care le-a primit arhiva termenul „paralelepopode“ a fost tăiat şi înlocuit cu „paraboloizi“ (scris de mână). Paraboloizii de rotaţie sunt suprafeţe care rezultă din rotirea unei parabole în jurul axei sale de simetrie. Această interpretare a stenogramelor ridică problema modului în care s-ar putea face o legătură între asemenea suprafeţe şi conurile care se rotesc. Fără a aprofunda problema în amănunţime, Gschwind [1991] a avut bune motive să decidă şi să bazeze pe aceste spuse concluzii importante şi fructuoase. Şi anume, el a demonstrat o relaţie între asemenea suprafeţe şi numerele hipercomplexe. Material suplimentar cuprinzător poate fi găsit în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, vol. 114/115, Dornach, 1995, pp. 5-7.

  13. E de presupus că Steiner se referă aici la problema din teoria numerelor de a găsi numerele întregi a, b şi c care sunt soluţii pentru ecuaţia a2 + b2 = c2. Asemenea numere sunt cunoscute ca triplete pitagoreice. Algoritmii pentru găsirea tuturor soluţiilor acestei ecuaţii ‒ adică toate tripletele pitagoreice ‒ au fost cunoscuţi încă din Antichitate.

  14. Apelul lui Rudolf Steiner pentru stabilirea unei fundaţii a aritmeticii şi algebrei independentă de geometrie fusese reluată la sfârşitul secolului al XIX-lea când tendinţa de a aritmetiza matematica a mers uneori prea departe, în aşa fel încât ameninţa să înlocuiască geometria. A fost una din cele mai importante realizări ale secolului al XX-lea, deşi la început a rămas o problemă internă a matematicii. S-a scurs ceva timp înainte ca această dezvoltare să-şi găsească drumul său în manuale şi în predarea matematicii.

  15. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matematician la Göttingen care a explicat numerele negative ca simple opuse ale numerelor pozitive. El şi-a explicat punctele sale de vedere despre acest subiect în a sa Theoria Residuorum Biquadraticorum [1831], pp. 175 şi urm.: „Numerele pozitive şi negative pot avea o explicaţie numai acolo unde uniunea dintre ceva numărat şi opusul său anulează cantitatea. Vorbind precis, această condiţie esenţială nu se aplică când sunt implicate substanţe (adică obiecte care pot fi imaginate ca fiind de sine stătătoare), ci doar în relaţiile dintre obiectele care sunt enumerate. Este postulat că aceste obiecte sunt aranjate în şiruri ca de exemplu A, B, C, D, ..., şi că relaţia dintre A şi B poate fi considerată aceeaşi ca cea dintre B şi C ş.a.m.d. În acest caz conceptul de opus nu înseamnă nimic mai mult decât să inversăm membrii într-o relaţie, aşa încât dacă relaţia dintre (sau tranziţia de la) A şi B este +1, relaţia dintre B şi A poate fi descrisă ca −1. În măsura în care un asemenea şir nu are limite în niciuna dintre direcţii, fiecare număr real întreg reprezintă relaţia dintre un membru care a fost ales arbitrar ca fiind începutul şi un altul al şirului.“ Vezi, de asemenea, discuţia în Kowol [1990], pp. 88 şi urm.

  16. Eugen Dühring (1833-1921), filosof şi autor de cărţi de economie politică. Vezi în mod special cartea scrisă împreună cu fiul său Ulrich [1884], care conţine o critică aspră la adresa definiţiei lui Gauss a numerelor negative. Conform cu concepţia lui Dühring, contrastul sau opoziţia care caracterizează numerele negative rezultă dintr-o scădere neefectuată, pe care ei o văd ca pe singurul aspect esenţial al numerelor negative. Vezi [1884], p. 16: „Caracteristica incisivă a unui număr negativ izolat este aceea că nu rezultă doar dintr-o operaţie numerică în care scăderea nu mai poate fi continuată, ci indică, de asemenea, o operaţie în care poate fi pusă în aplicare scăderea. Trebuie să distingem cu grijă între aceste două operaţii ‒ sau, dacă vreţi, aceste două părţi ale unei operaţii generale.“ Pentru comparaţie între vederile lui Gauss şi cele ale lui Dühring despre numerele negative, vezi Kowol [1990], pp. 88 şi urm.

  17. Despre concepţia lui Dühring asupra numerelor complexe vezi E. şi U. Dühring [ 1884], capitolele 2-4 şi 13. O discuţie despre gândurile lui Dühring comparate cu alte încercări de a trata această chestiune pot fi găsite în Kowol [ 1990], pp. 118 şi urm. şi 122 şi urm.

  18. Vezi E. şi U. Dühring [ 1884], capitolele 4, 12, 14 şi 15.
Stuttgart, 11 martie 1920
  1. Sesiunea de întrebări şi răspunsuri din timpul ciclului de conferinţe Căldura la graniţa dintre spaţiu şi anispaţiu. Impulsuri ale ştiinţei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de ştiinţe naturale (GA 321). Alexander Strakosch (1879-1958), inginer de căi ferate şi profesor la prima şcoală Waldorf din Stuttgart, a pus aceste întrebări după ce a ţinut o conferinţă despre „Figurile matematice ca o verigă intermediară între arhetip şi copie“ la Stuttgart, 11 martie 1920. Până acum nu a fost găsită nicio stenogramă a acestei conferinţe.

  2. Despre relaţiile dintre arhetip şi imagine în contextul matematicii, vezi, de asemenea, eseul lui Rudolf Steiner despre „Matematică şi ocultism“ din Filosofie şi antroposofie (GA 35).

  3. În conferinţa din 5 martie 1920 (GA 321). Pentru discuţii ulterioare despre evoluţia conceptelor geometrice şi matematice care apar din natura volitivă a fiinţei umane, vezi, de asemenea, conferinţele lui Rudolf Steiner din 3 ianuarie 1920 (GA 320); 29 septembrie 1920 (GA 322), 16 martie 1921 (GA 324) şi 26 decembrie 1922 (GA 326).

  4. Pentru alte discuţii despre geometria fluidă sau mobilă, vezi, de asemenea, conferinţa lui Rudolf Steiner din 20 ianuarie 1914 (GA 151).

  5. Pentru mai multe informaţii despre relaţia dintre planele sau regiunile lumii spirituale şi dimensiunile superioare, vezi, de asemenea, conferinţele lui Rudolf Steiner din 17 mai şi 7 iunie 1905, sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 7 aprilie 1921 (GA 76) şi 12 aprilie 1922 (GA 82) şi conferinţele din 19, 20, 22 şi 26 august 1923 (GA 227).

    Ernst Blümel (1884-1952), matematician şi profesor. Vezi Renatus Ziegler, Notizen zur Biographie des Mathematikers und Lehrers Ernst Blümel, Dornach, 1995, în Arbeitshefte der Mathematisch-Astronomischen Sektion am Goetheanum, Kleine Reihe, Heft 1 (Serii scurte, Nr. 1).
Stuttgart, 30 martie 1920
  1. Sesiunea de întrebări şi răspunsuri după conferinţa lui Eugen Kolisko despre „Antroposofie şi chimie“ în timpul conferinţei despre „Antroposofie şi ştiinţele specializate“ ţinută la Goetheanum din 21 martie până în 7 aprilie 1920.

    Eugen Kolisko (1893-1939) era fizician şi a predat la prima şcoală Waldorf din Stuttgart. Până acum nu s-a găsit nicio stenogramă a acestei conferinţe. Vezi raportul scurt despre conferinţă în jurnalul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol.l, 1919/1920, nr. 45.

  2. Goethe, Zur Farbenlehre [1810] şi Der Versuch als Vermittler von Object und Subject [1823]. Vezi Rudolf Steiner, Introduceri la scrierile de ştiinţe naturale ale lui Goethe (GA 1), capitolele X şi XVI; Linii fundamentale ale unei teorii a cunoaşterii în concepţia goetheană despre lume (GA 2), capitolul 15; capitolul din Goethes Weltanschauung (GA 6) intitulat Die Erscheinung der Farbenwelt .

  3. Descoperirea geometriilor neeuclidiene a arătat că geometria euclidiană nu era singura geometrie imaginabilă. Ca urmare, întrebarea care geometrie se aplică spaţiului pe care îl experimentăm a devenit o problemă epistemologică pentru ştiinţe. Mai mult despre impactul descoperirii geometriilor neeuclidiene în conferinţele lui Rudolf Steiner din 26 august 1910 (GA 125); 20 octombrie 1910 (GA 60); 3 ianuarie 1920 (GA 320); 27 martie 1920 (GA 73a); 1 şi 7 ianuarie 1921 (GA 323); 5 aprilie 1921 (GA 76). Despre importanţa descoperirii geometriei neeuclidiene în istoria conştienţei vezi Ziegler [ 1987]. Despre istoria acestei descoperiri vezi Bonola/Liebmann [1919]; Klein [1926], capitolul 4; Reichardt [1976]. Despre relaţiile axiomelor, fenomenelor arhetipale şi experienţă vezi Ziegler [1992], capitolele VII şi VIII.

  4. Într-o geometrie eliptică ca aceea a lui Riemann (Riemann [1867]), măsura curburii matricei este mai mare decât 1, iar suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mare decât 180°. În geometria hiperbolică aceasta este mai mică decât 1 iar suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică decât 180°, Relaţia spaţiilor sau varietăţilor cu curbură constantă faţă de geometriile neeuclidiene a fost descoperită de Eugenio Beltrami (1835-1900) şi Bernhard Riemann (1826-1866). În contrast cu geometria euclidiană (teorema lui Pitagora), măsurarea unui asemenea spaţiu este determinată de o funcţie de coordonate. În general, această funcţie nu mai este o sumă de pătrate. (Nota traducătorului: se referă la măsurarea distanţei dintre două puncte A şi B de coordonate (x1, y1, z1), respectiv (x2,y2,z2), în spaţiul euclidian tridimensional, şi anume d2 (A,B) + (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 formulă care se obţine din şi se bazează pe teorema lui Pitagora, fiind de fapt nimic altceva decât o altă formă a ei, generalizată în spaţiu. Ceea ce vrea să se spună în propoziţia anterioară este că, în spaţii sau varietăţi a căror geometrie intrinsecă nu este cea euclidiană, formula care măsoară distanţa dintre două puncte din spaţiul respectiv nu mai are această formă simplă.) Despre acest subiect vezi Klein [1927], capitolul 3C şi Scholz [1980], capitolul III.

  5. Vezi Simony [1888b], §5; [1883]; [1886].
Stuttgart, 31 martie 1920
  1. Întrebările şi răspunsurile după conferinţa lui Karl Stockmeyer despre „Antroposofie şi fizică“ din timpul conferinţei despre „Antroposofie şi ştiinţele specializate“ ţinută la Goetheanum, la Dornach, din 21 martie până în 7 aprilie 1920.

    Ernst August Karl Stockmeyer (1886-1963) a fost profesor la prima şcoală Waldorf din Stuttgart. Până acum nu s-a descoperit nicio stenogramă a acestei conferinţe. Vezi scurtul raport despre conferinţă din jurnalul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol.1, 1919/1920, nr. 45.

  2. Vezi întrebările şi răspunsurile din 30 martie 1920 şi conferinţele lui Steiner din 27 martie 1920 (GA 73a), 3 ianuarie 1920 (GA 320).

  3. Bernhard Riemann (1826-1866), pe care îl menţionează adesea Steiner, tipizează această tendinţă. Vezi, de asemenea, nota 1, conferinţa I, despre Bolyai, Gauss şi Riemann.

  4. Vezi începutul sesiunii de întrebări şi răspunsuri din 11 martie 1920 (întrebările lui E. Blümel) şi notele însoţitoare.

  5. Vezi sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 11 martie 1920.

  6. Spusele lui Goethe chiar de la începutul Prefeţei la Zur Farbenlehre [1810]:

    „Atunci când se analizează subiectul culorilor apare întrebarea foarte naturală dacă lumina ar trebui discutată în primul rând. Răspunsul scurt şi onest cu privire la această întrebare este acela că s-au spus atât de multe despre lumină, şi atât de des, că pare discutabil să se repete sau să se adauge ceva la ceea ce s-a spus.

    Pentru că de fapt încercarea noastră de a exprima natura esenţială a a unui lucru este în van. Devenim conştienţi de efectele unei fiinţe şi o relatare completă a lor cuprinde probabil întreaga ei natură esenţială. Eforturile noastre de a descrie caracterul unei persoane sunt toate în van, dar dacă prezentăm toate acţiunile şi faptele sale, va rezulta o imagine a caracterului ei.

    Culorile sunt faptele luminii, faptele şi suferinţele ei. În acest sens putem să aşteptăm de la ele să ne furnizeze concluzii despre lumină; culorile şi lumina sunt înrudite foarte precis, dar trebuie să le considerăm pe amândouă ca aparţinând Naturii şi numai Natura încearcă să se reveleze simţului văzului.“

  7. Editorii versiunii germane, observând că contextul cere semnificaţia de „control“ sau „înţelegere“, au substituit cuvântul Beharrung (perseverenţă), care apare de multe ori în manuscrisele dactilografiate ale notelor stenografice, aici şi în altă parte în conferinţă, cu cuvântul Beherrschung (control).

  8. Vezi, de asemenea, conferinţa lui Rudolf Steiner din 30 martie 1920 (GA 312) şi sesiunea de întrebări şi răspunsuri care a avut loc la aceeaşi dată.

  9. Goethe, Zur Farbenlehre [1810J, secţiunea 6, Sinnlich-sittliche Wirkung der Farbe, §758-920.

  10. Max Planck (1858-1947), fizician teoretician din München, Köln şi Berlin. Ipoteza unui eter cvasimaterial care servea ca mediu pentru procesele şi fenomenele electrice îşi avea rădăcinile în gândirea lui Isaac Newton (1642-1727) şi René Descartes (1596-1650). Acest tip calitativ de eter a făcut posibilă interpretarea proceselor ale căror mecanisme mult mai precise nu erau înţelese. Caracteristica principală a ipotezei eterului a secolului al XIX-lea era cuantificabilitatea, care făcea posibilă încorporarea unor asemenea procese în teoriile matematice despre fenomenele fizicii. Vezi, de asemenea, începutul sesiunii de întrebări şi răspunsuri din 7 martie 1920 şi notele corespunzătoare.

    Spusele exacte ale formulării lui Planck nu au fost găsite. Planck accentuează [1910] totuşi: „Eu cred că nu voi întâmpina vreo opoziţie serioasă printre fizicieni dacă voi rezuma situaţia după cum urmează: Presupunerea că ecuaţiile diferenţiale simple ale lui Maxwell-Hertz sunt pe deplin valide pentru procesele electrodinamice în eterul pur exclude posibiltatea de a le explica mecanic“ (p. 37). Mai târziu el spune: „La fel este cu certitudine corect să afirmăm că primul pas spre descoperirea principiului relativităţii al lui Einstein coincide cu întrebarea despre ce fel de relaţie trebuie să existe între forţele naturale de vreme ce este imposibil să se atribuie vreo proprietate eterului luminii ‒ adică dacă undele de lumină se transmit prin spaţiu fără vreo conexiune cu un vehicul material. În acest caz, desigur, ar fi imposibil să definim ‒ ca să nu mai vorbim de a măsura ‒ viteza unui corp în raport cu eterul luminii. Nu e nevoie să accentuez că concepţia mecanică asupra naturii este incompatibilă cu această concepţie. Astfel, oricine vede acest punct de vedere ca postulat al fizicii nu se va simţi niciodată confortabil cu teoria relativităţii. Aceia care sunt mai flexibili în judecăţile lor vor întreba totuşi unde ne conduce acest principiu“ (p. 39).

  11. Vezi sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 11 martie 1920 şi notele corespunzătoare.

  12. Compară acest pasaj cu următoarele de la sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 11 martie 1920 (Blümel) şi 15 ianuarie 1921, cu notele corespunzătoare.

  13. Comentarii asupra dezbaterii din jurul conceptului de numere negative pot fi găsite la sfârşitul sesiunii de întrebări şi răspunsuri din 11 martie 1920 (Blümel). Vezi Kowol [1990], capitolul IVB.
Stuttgart, 15 octombrie 1920
  1. Sesiunea de întrebări şi răspunsuri din timpul unei „conversaţii despre ştiinţa spiritului“, în contextul conferinţelor antroposofice din 26 septembrie până în 16 octombrie 1920, la Goetheanum, în Dornach. Conferinţele introductive ale lui Rudolf Steiner la Grenzen der Naturerkenntnis au fost ţinute din 27 septembrie până în 3 octombrie 1920 şi au apărut în GA 322. Multe conferinţe ţinute de alţi participanţi au fost tipărite în Aenimagtisches aus Kunst und Wissenschaft, vol. I şi II, Stuttgart, Der Kommende Tag Verlag 1922 (disponibile la librăria de la Goetheanum) sau în Kultur und Erziehung, Stuttgart, Der Kommende Tag Verlag, 1921 (disponibilă la librăria de la Goetheanum). Vezi, de asemenea, anunţul conferinţei care include un program detaliat în periodicul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2, 1920/1921, nr. 9. Rapoarte ale acestei conferinţe de Alexander Strakosch şi Günther Wachsmuth au apărut în acelaşi periodic (nr. 15, 16 şi 18).

  2. Conform lui Ptolemeu (Claudius Ptolemeus, aprox. 100-170), structura de bază a sistemului solar era geocentrică, cu aşezarea Pământului în centrul său. În opera sa de căpătâi, Almagest, Ptolemeu foloseşte o construcţie complicată de cercuri concentrice pentru a explica în detaliu mişcările planetare. (Vezi Ptolemeu [1962]; Ziegler [1976]; Teichmann [1983], capitolul 3.2; Van der Waerden [1988], capitolul XIX.) Cu privire la orbitele planetare care rezultă din combinaţia mişcărilor circulare, nu se schimbă nimic esenţial prin trecerea de la sistemul ptolemaic geocentric la sistemul copernican heliocentric, cu excepţia faptului că Soarele şi Pământul schimbă locurile, ceea ce corespunde unei simple transformări geometrice. Mai mult, atât argumentele lui Ptolemeu cât şi ale lui Copernic sunt în mod esenţial cinematice (Steiner ar fi spus „phoronomice“) ‒ adică ei nu iau în considerare relaţiile forţelor. Vezi Vreede [1980], capitolul 3, şi Neugebauer [1983], secţiunea 40.

    În lucrarea sa de căpătâi, De Revolutionibus Orbium Coelestium, 1543, vol. 1, capitolul 11, Nicolaus Copernicus (1473-1543) separă mişcarea Pământului în trei componente (vezi Copernic [1879], pp. 28 şi urm. sau [ 1990], pp. 139 şi urm.). Prima mişcare este cea a rotaţiei zilnice a Pământului în jurul axei sale, a doua este mişcarea sa pe o orbită excentrică în jurul Soarelui, iar a treia mişcare este „mişcarea în declinaţie“. Copernic o formulează în felul următor:

    „De vreme ce multe fenomene planetare importante depun mărturie că Pământul se mişcă vom descrie această mişcare în termeni generali, în măsura în care confirmă fenomenele, ca pe o ipoteză. Trebuie să presupunem că această mişcare este tripartită: prima mişcare, pe care grecii o numeau nychthemerinon, diurn-nocturnă, este actuala succesiune a zilei şi nopţii, care se petrece în jurul axei Pământului de la vest la est în acelaşi fel în care se credea că se mişcă Pământul în sens opus. Această succesiune defineşte cercul echinocţial sau Ecuatorul, pe care unii îl numesc cercul zilelor egale, imitând pe greci care l-au numit isemerinos, de zile egale. A doua este mişcarea anuală a centrului Pământului şi sateliţilor săi prin zodiac, în jurul Soarelui de la vest la est ‒ adică în sens direct ‒, între Venus şi Marte. Rezultatul acestei mişcări, aşa cum am spus, este acela că Soarele însuşi pare să facă o mişcare similară prin zodiac, aşa încât atunci când Pământul (centrul lui) se mişcă prin Capricorn, Vărsător ş.a.m.d. Soarele pare că se mişcă prin Cancer, Leu ş.a.m.d. Trebuie să ne imaginăm că înclinarea Ecuatorului şi axa Pământului variază în raport cu planul cercului care trece prin centrul semnelor zodiacale. Dacă înclinarea ar fi constantă şi s-ar mişca numai punctul central nu ar apărea nicio schimbare în lungimea zilelor şi nopţilor şi am avea întotdeauna sau solstiţiu de vară sau solstiţiu de iarnă sau un echinox ‒ în orice caz un anotimp neschimbător. Astfel, a treia mişcare, sau mişcarea în declinaţie, se petrece anual, dar în sens opus mişcării punctului central (Pământul). Ca rezultat al acestor două mişcări opuse dar aproape egale, axa Pământului, şi astfel şi Ecuatorul ‒ cel mai mare cerc-paralelă ‒, rămân îndreptate către aproape aceeaşi zonă de cer, ca şi când ar fi imobile, în timp ce Soarele, datorită mişcării progresive a centrului Pământului, pare să se mişte prin planul oblic al zodiacului într-un fel care nu este diferit de ceea ce ar face dacă Pământul ar fi în centrul sistemului solar, dacă ne amintim numai că distanţa de la Soare la Pământ, în sfera stelelor fixe, a depăşit deja capacitatea noastră de percepţie“ (Copernic [1879], pp. 28 şi urm.).

    Rudolf Steiner pare să fi inversat ordinea celor două legi menţionate de Copernic în De Revolutionibus. Totuşi citatul de mai sus este cel pe care îl foloseşte şi Copernic în discutarea celor trei mişcări ale Pământului în De Hypothesibus Motuum Coelestium a se Constitutus Commentariolus, numită de asemenea mai simplu Commentariolus, publicată în 1514. (Vezi Copernic [1948], pp. 12 şi urm. sau [1990], pp. 9 şi urm.).

    În pasajele care urmează am păstrat succesiunea lui Steiner a celor trei legi.

    1. Mişcarea anuală a Pământului în jurul Soarelui pe o orbită excentrică.
    2. Mişcarea zilnică a Pământului în jurul axei sale.
    3. Mişcarea în declinaţie: axa Pământului descrie un con, mişcându-se în sensul opus mişcării de revoluţie în jurul Soarelui. (Nota traducătorului: aşa cum am spus într-o notă anterioară, poziţia unei stele pe sfera cerească geocentrică, sferă imaginată ca având centrul în centrul Pământului şi rază arbitrară, este dată de două coordonate sferice. Există mai multe sisteme de astfel de coordonate folosite în astronomia de poziţie. Unul dintre ele se numeşte sistem de coordonate ecuatorial, format din ascensiunea dreaptă şi declinaţia, ambele unghiuri, primul, asemănător longitudinii, fiind măsurat spre est de-a lungul Ecuatorului ceresc, faţă de punctul vernal ‒ adică punctul în care răsare Soarele primăvara ‒, iar al doilea, adică declinaţia, asemănător latitudinii, este măsurat spre polul nord ceresc [în sens pozitiv] sau spre polul sud ceresc [în sens negativ], faţă de Ecuatorul ceresc.)

  3. În sens geometric sau cinematic, prima mişcare (dacă este considerată în izolare, ignorând a doua şi a treia mişcare) este revoluţia Pământului în jurul Soarelui. Observaţi că axa Pământului nu rămâne paralelă cu ea însăşi ‒ cu excepţia unui caz special când axa este paralelă cu axa rotaţiei, ceea ce nu este cazul aici. În loc să fie paralelă, raportată la centrul Pământului ea descrie un con. (Nota traducătorului: nu este vorba de un con cu vârful în centrul Pământului, de vreme ce acesta este el însuşi în mişcare.) Cu alte cuvinte, intersecţia prelungirii axei Pământului cu o linie perpendiculară pe planul orbitei excentrice a Pământului (nota traducătorului: se referă la axa conului) este un punct fix al acestei mişcări . Dacă ar exista această mişcare, nu ar fi posibilă nicio schimbare a anotimpurilor pentru că poziţia Pământului faţă de Soare ar fi tot timpul aceeaşi.

    Ca urmare, Copernic a trebuit să introducă o altă mişcare pentru a explica fenomenul schimbării anotimpurilor, pe de o parte, şi precesia (deplasarea punctului vernal) pe de altă parte. (Nota traducătorului: deplasarea la care se face referire este pusă astfel pe seama sus-numitei „mişcări în declinaţie“ care face ca cercul ecuatorial să alunece pe cercul eclipticii în sens retrograd, asemenea unui titirez dezechilibrat. Fenomenul este cunoscut sub numele de precesia anotimpurilor. În fiecare an Soarele răsare primăvara cu aproximativ patru secunde de arc în spatele poziţiei în care a răsărit în anul precedent.) „Mişcarea în declinaţie“, a treia mişcare în ordinea lui Steiner, servea acestui scop. Această mişcare constă în rotaţia anuală a axei Pământului în sens opus mişcării în jurul Soarelui. Prin aceasta, rotaţia axei Pământului produsă de cea de a doua mişcare devine retrogradă, şi în plus apare uşorul exces care explică precesia.

  4. Cel târziu în 1783 faptul că Soarele însuşi se mişcă a fost recunoscut când William Herschel (1783-1822) a descoperit mişcarea acestuia (numită mişcarea apexului) în direcţia constelaţiei Hercule. (Vezi Wolf [1891-1893], §292.)

  5. Rudolf Steiner a vorbit adesea despre spirala sau mişcarea de şurub a Pământului în timp ce urmăreşte mişcarea Soarelui; vezi, de exemplu, conferinţele sale din 24 şi 31 martie 1905. Începând cu conferinţa sa din 1 septembrie 1906 (GA 95), el a legat adesea cea de a treia mişcare copernicană cu propria sa descriere a problemei mişcărilor Soarelui şi Pământului. Din 1916 încolo el a adăugat aspectul unei calităţi progresive de lemniscată a mişcării. (Pentru o vedere de ansamblu a acestei probleme vezi Vreede [1980], Über das Kopernikanische System, pp. 349 şi urm.)

    Următoarea listă include marea majoritate a conferinţelor şi sesiunilor de întrebări şi răspunsuri (Î&R) în care Steiner discută problema mişcărilor Soarelui şi Pământului, în mod special cea de a treia mişcare copernicană (Copernic 3), corecţiile lui Bessel şi/sau problema mişcărilor spiralate sau pe lemniscată (∞) ale Soarelui şi Pământului. Cele din 1 octombrie 1916 (GA 171); 10 aprilie 1920 (GA 201); 2 şi 17 ianuarie 1921 (GA 323).

    Conferinţa
    Anul
    GA (Opere complete) 
    Conţinutul
    24 martie
    1905
    324a
    Linia elicoidală
    31 martie
    1905
    324a
    Linia elicoidală
    1 septembrie
    1906
    95
    Copernic 3
    16 septembrie
    1907
    101,GA 284/285
    Copernic 3
    29 aprilie
    1908
    98
    Copernic 3, linia elicoidală
    7 noiembrie
    1910
    124

    21 martie
    1913
    145
    Circulaţia sangvină şi inima
    5 mai
    1914
    286
    Linia elicoidală
    13 iulie
    1915
    159
    Circulaţia sangvină şi inima
    20 august
    1916
    272
    Copernic 3
    1 octombrie
    1916
    171

    28 mai
    1918
    181
    Copernic 3, Bessel
    4 septembrie
    1919
    295
    Copernic 3, Bessel
    25 septembrie
    1919
    300a
    Copernic 3, Bessel
    26 septembrie
    1919
    300a
    Spirala
    28 septembrie
    1919
    192
    Copernic 3, Bessel
    3 octombrie
    1919
    261
    Copernic 3, Bessel
    3 octombrie
    1919
    191
    Copernic 3, Bessel
    10 aprilie
    1920
    201
    Spirala progresivă
    11 aprilie
    1920
    201 Circulaţia sangvină şi inima
    18 aprilie
    1920
    201 ∞, Copernic 3
    1 mai
    1920
    201 Bessel, lemniscata progresivă
    2 mai
    1920
    201 Lemniscata progresivă
    15 octombrie
    1920
    324a
    Î&R, Copernic 3, Bessel
    2 ianuarie
    1921
    323
    Copernic 3
    11 ianuarie
    1921
    323 ∞, lemniscată
    12 ianuarie
    1921
    323 ∞, orbite planetare lemniscate
    17 ianuarie
    1921
    323 lemniscată de rotaxie, Bessel
    18 ianuarie
    1921
    323
    26 august
    1921
    324a
    Î&R, Copernic 3
    8 octombrie
    1921
    343
    Copernic 3
    5 ianuarie
    1923
    220
    Copernic 3
    5 mai
    1924
    349
    Copernic 3

    Au fost făcute numeroase încercări de a unifica, într-o interpretare consecventă şi la zi, indicaţiile împrăştiate date de Rudolf Steiner, dar niciuna nu le-a cuprins cu succes pe toate. Pentru unele din cele mai semnificative eforturi vezi (în ordine cronologică): Locher [1942]; Hagemann [1966]; Kaiser [1966]; Schmidt [1966]; Vetter [1967]; Van Bemmelen [1967]; Unger [1981]; Bauer [1981, 1988]; Hemming/Pinkall [1983]; Hardorp [1983]; Junge [1983]; Rudnicki [1984]; Adams [1989] (capitolul4) şi Vanscheidt [1992].

  6. Interpretarea mecanică a sistemului solar care a devenit curentă de la Newton considera că presupunerea unei a treia mişcări copernicane este superfluă. Adică dacă Pământul este văzut ca un titirez aproape simetric rotindu-se în câmpul gravitaţional al Soarelui atunci, conform legii conservării rotaţiei, direcţia L a axei de rotaţie a Pământului rămâne fixă în spaţiu. Această interpretare, derivată din fizică, ar fi fost, desigur, străină lui Copernic. Printre succesorii lui numai câţiva autori se plâng de neglijarea celei de a treia mişcări copernicane sau chiar o considerau un factor serios. Despre acest subiect vezi nota informativă a lui C.L. Menzzer asupra De Revolutionibus, vol. 1, capitolul 11, „Beweis von der dreifachen Bewegung der Erde“ (Copernic [1879], appendix, pp.28-31). În acest context, conferinţa lui Rudolf Steiner din 25 septembrie 1919 (GA 300a) menţionează de asemenea opera poetului şi autorului Johannes Schlaf (1862-1941). Vezi Schlaf [ 1914] şi [ 1919]; ambele au fost găsite în biblioteca lui Steiner iar prima conţine o dedicaţie scrisă de mână a autorului cărţii adresată lui Rudolf Steiner.

  7. Elisabeth Vreede (1879-1943), matematician şi astronom, iar din 1924 primul conducător al secţiunii pentru matematică şi astronomie a Şcolii de Ştiinţă a Spiritului de la Goetheanum, Dornach. În timpul acestui congres, dr. Vreede a ţinut două conferinţe (la 13 şi 14 octombrie 1920) despre „Justificarea şi limitele matematicii în astronomie“ [ 1922].

  8. Vreede [1922], pp. 138 şi urm. şi 160.

  9. Carl Unger (1878-1929), manufacturier, inginer şi filosof. În timpul acestui congres el a ţinut şase conferinţe (11-16 octombrie 1920) despre opera lui Rudolf Steiner [ 1921 ]. Vezi, de asemenea, raportul despre aceste conferinţe scris de Willz Storrer în Unger [1921], în mod special secţiunile III şi IV.

  10. Pentru mai multe detalii despre teoria relativităţii cu privire la pasajul care urmează vezi sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 31 martie 1920 şi 15 ianuarie 1921.

  11. Vezi pasajul din Einstein citat în nota 37, la sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 7 martie 1920. Steiner se referă aici la problema cunoscută mai târziu ca „paradoxul gemenilor“ sau „paradoxul ceasurilor“. Interpretarea sa, controversată încă astăzi, este înrudită cu semnificaţia conceptului de timp în fizică dar mai mult, în mod special, cu interpretarea „timpului propriu“ unui sistem fizic în contextul teoriei relativităţii. Despre acest subiect vezi, de exemplu, Gschwind [1986] şi referinţele listate acolo.

  12. Conform lui Einstein [1917], §18, principiul special al relativităţii afirmă că legile naturale universale ale fizicii sunt din punct de vedere formal identice pentru două sisteme de referinţă supuse unei mişcări uniforme (sisteme inerţiale). Desigur, această afirmaţie presupune că există sisteme inerţiale. Exemple populare luate din mecanica elementară nu satisfac în mod strict cele mai multe din cerinţele preliminare; deci asemenea exemple eşuează în a corespunde realităţii chiar din perpectiva fizicii.

    Astfel, de exemplu, sistemul de referinţă „Pământ“ ( ca orice alt sistem rotativ) este un sistem accelerat, aşa cum este sistemul de referinţă „maşină“. (Nota traducătorului: aflat pe arcul de orbită apropiat Soarelui, acesta îşi măreşte viteza pe când în partea îndepărtată de Soare îşi încetineşte viteza.) Deoarece înfrânge rezistenţa frecării, o maşină care se mişcă uniform execută o mişcare accelerată. Din cauza frecării, maşina nu este un sistem neschimbat ‒ cu atât mai mult când are un cauciuc dezumflat şi viteza îi descreşte. Consideraţii similare se aplică şi în exemplul, citat adesea, al trenului şi terasamentului de cale ferată. (Nota traducătorului: este vorba de exemplul de la care pleacă Einstein în cartea sa Teoria relativităţii pe înţelesul tuturor, pentru a face înţeles principiul relativităţii restrânse [speciale]. Trenul şi terasamentul căii ferate pe care circulă acest tren reprezintă două sisteme de referinţă.)

    Singurele exemple de comportament relativist pe care fizica le consideră realiste au loc la nivelul atomic sau subatomic, aşa cum subliniază şi Einstein [1917] în conferinţa sa. Totuşi, conform lui Steiner întreaga realitate a domeniului unor asemenea fenomene nu poate fi cuprinsă fără a extinde fizica cu ajutorul ştiinţei spiritului, al antroposofiei (vezi conferinţele primului şi celui de al doilea curs ştiinţific, GA 320 şi GA 321).

  13. Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), astronom, geodez şi matematician din Konigsberg; a adus contribuţii fundamentale la tehnicile şi tehnologia observaţiilor matematice, incluzând îmbunătăţiri ale instrumentelor, analizelor sistematice ale erorilor, datorate instrumentelor şi greşelilor de observare, şi prin reducerea completă a observaţiilor.

    Atât erorile instrumentale cât şi influenţa atmosferei Pământului (refracţie) trebuie eliminate atunci când este măsurată poziţia unei stele. Mai mult, de dragul unui standard obiectiv care poate fi comparat cu alte măsurători, asemenea poziţii trebuie calculate în termenii unui punct comun în timp, luând în considerare efectele datorate punctului de observare şi ale mişcării Pământului. Asta cere o cunoaştere exactă a precesiei şi nutaţiei (o uşoară oscilaţie a axei Pământului cauzată de Lună ‒ nota traducătorului: atracţia gravitaţională exercitată de Lună nu se manifestă uniform datorită formei neregulate a Pământului. În realitate, nu este nici măcar elipsoid de rotaţie, având o uşoară „umflătură“ care face ca atracţia Lunii să îi imprime un tremur numit mişcare de nutaţie) şi a aberaţiilor zilnice, anuale şi pe termen lung (cauzate de viteza finită a luminii şi schimbările aparente ale poziţiilor astrelor datorate mişcării Pământului).

    Analiza lui Bessel asupra poziţiilor a 3 222 de stele, calculate de James Bradley (1693-1762) la Observatorul din Greenwich, a devenit o piatră de hotar în observaţiile astronomice deoarece a făcut disponibile pentru prima dată poziţii stelare exacte. Bessel a publicat rezultatele sale în cartea Fundamenta Astronomiae pro Anno 1755 Deducta ex Observationibus Viri Incomparabilis James Bradley in Specula Astronomica Grenovicensi per Annos 1750-1762, Instituti (Konigsberg [1818]), şi Tabulae Regiomantanae Reductionum Observationum Astronomicum ab Anno 1750 usque ad Annum 1850 Computatae (Königsberg [1830]).

    Studii înrudite făcute de Bessel au dat naştere la metode îmbunătăţite de determinare a mişcărilor independente ale stelelor fixe şi la primul mijloc de determinare a paralaxei stelelor fixe individuale. (Nota traducătorului: precizarea „individuale“ este necesară deoarece există şi foarte multe stele duble, aşa-numitele sisteme binare precum şi sisteme multiple. Paralaxa unei stele singulare este unghiul sub care se vede semiaxa orbitei Pământului, adică ‒ dată fiind forma aproape circulară a orbitei terestre ‒ segmentul determinat de Soare şi Pământ. Calculul acestui unghi este necesar deoarece aceeaşi stea este văzută de pe Pământ în două poziţii diferite atunci când el se află pe orbită în două poziţii „diametral“ opuse, de exemplu, la aheliu şi periheliu.)

    Aceste paralaxe au constituit prima demonstraţie astronomică a mişcării anuale a Pământului (despre aceasta şi alte demonstraţii ale acestei mişcări vezi Teichmann [1983], capitolul 3.4). Aşa-numitele formule de reducere ale lui Bessel pentru coordonatele stelelor au de-a face cu influenţele anuale şi de lungă durată ale precesiei şi nutaţiei. (Pentru mai multe despre acest subiect vezi Schmidt [1967]; Wolf [1890-1893], §609 şi §613, şi anuare de astronomie ca The Astronomical Almanac, pp. 1981 şi urm., pp. §22 şi urm.)

  14. Albert Steffen (1884-1963), poet şi, din 1924 încolo, primul conducător al secţiunii pentru arte şi litere a Şcolii de ştiinţă a spiritului de la Goetheanum, Dornach. În timpul acestei conferinţe Steffen a ţinut două expuneri (la 14 şi 15 octombrie 1920) despre subiectul „Ştiinţa spiritului şi crizele din viaţa artistului“. Steffen a publicat autoreferatul acestor conferinţe în colecţia Die Krisis im Leben des Künstlers [ 1922]. Vezi în mod special eseul cu acelaşi titlu din partea a II-a, pp. 31 şi urm.

  15. Teoria mulţimilor a fost întemeiată aproape de unul singur de matematicianul Georg Cantor (1845-1918). Cantor a trimis o copie a cărţii lui Lehre vom Transfiniten [1890], cu o dedicaţie personală şi corecturi de mână, lui Rudolf Steiner. Într-un tratat datat 1884, Cantor dă următoarea definiţie unei mulţimi: „În general, eu înţeleg printr-o «varietate» sau «mulţime» un grup de multe elemente care poate fi conceput ca un întreg. Este rezumatul elementelor specifice care pot fi unite într-un întreg. Cred că am definit astfel ceva înrudit cu eidos-ul sau ideea lui Platon... (Cantor [1932], nota de subsol de la p. 204).
    Remarcile lui Rudolf Steiner se referă la investigaţiile lui Cantor privind diversele niveluri (tipuri) de infinit. Baza acestar studii este această definiţie pe care Steiner o parafrazează: „Înţeleg prin număr prim sau număr cardinal al unei mulţimi S (care constă în elemente separate conceptual s, s',... şi care este definită şi conturată de ele) conceptul universal sau general pe care îl putem obţine prin abstractizarea din mulţime atât a caracterului elementelor sale cât şi a tuturor relaţiilor acestor elemente fie între ele, fie cu alte obiecte şi în mod special ordinea care predomină între elemente, şi care reflectă numai ceea ce este comun tuturor mulţimilor care sunt echivalente cu S. Două mulţimi S şi T se numesc echivalente când fiecare element al uneia poate fi făcut să corespundă în mod clar cu exact un element al celeilalte“ (Cantor [1890], pp. 23 şi urm. Sau [1932] p. 387). Vezi, de asemenea, eseul intitulat „Georg Cantor şi Rudolf Steiner“, în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, nr. 114/115, Dornach, 1995.

  16. Oswald Spengler (1880-1936) la început matematician şi mai târziu scriitor. „Formă şi actualitate“, primul volum al operei principale a lui Spengler, Declinul Occidentului, publicată în prima sa ediţie în 1918 şi apărută până în 1920 în 32 de ediţii. Al doilea volum, „Perspective asupra istoriei mondiale“, care a apărut în 1922, nu a avut căutare în aceeaşi măsură. Declinul Occidentului a fost publicată în Statele Unite în 1926-1928.

  17. A doua lege a termodinamicii este bazată pe conceptul entropiei care a fost prima dată formulat de Rudolf Clausius (1822-1888). Acest concept afirmă că entropia tinde către un maximum în orice proces termodinamic care are loc într-un sistem fizic de sine stătător (self-contained). În contextul fizicii, demonstraţia acestei legi este posibilă numai pe baza altor ipoteze nedemonstrabile sau postulate. De exemplu, în teoria cinetică statistică a gazului datând de la James Clark Maxwell (1831-1879) şi Ludwig Boltzman (1844-1906), această a doua lege ia forma unei teoreme demonstrabile (aşa-numita teoremă H a lui Boltzman) bazată pe ipoteza haosului molecular complet.

  18. Contele Hermann Keyserling (1880-1946), filosof, cofondatorul şi conducăţorul ştiinţific al „Şcolii de înţelepciune“ („Societatea pentru filosofie independentă“) din Darmstadt. Vezi opera sa ca, de exemplu, Das Reisetagebuch eines Philosophen [1919a], Der Weg der Vollendung: des Grafen Hermann Keyserling philosophischen Schaffen [1919b] şi Philosophie als Kunst [1920].

  19. Keyserling, Philosophie als Kunst [1920], p. 293: „«Şcoala înţelepciunii» trebuie să devină un al treilea element alături de Biserică (luând termenul în cel mai larg sens neconfesional) şi Universitate. Ca fiecare din aceste alte două elemente intenţia ei este să dea formă întregii fiinţe umane şi să spiritualizeze sufletul uman. În plus, ea aspiră la o sinteză între viaţa sufletului omenesc şi spiritul deplin conştient şi independent, aşa încât nici credinţa nici cunoaşterea abstractă nu reprezintă autoritatea finală, dar credinţa, cunoaşterea şi viaţa devin una într-o unitate vie, superioară, de conştienţă, încoronată de «Şcoala înţelepciunii» a cărei sarcină ar fi să încorporeze în mod organic cunoaşterea academică abstractă într-o sinteză vie şi să transforme pur şi simplu «a cunoaşte» în «a fi»“.

  20. Steiner se referă aici probabil la revista săptămânală Die Zukunft editată de Maximilian Harden (volumele 1-118, 1892-1922). Până acum nu a fost găsit eseul scris de Hermann Keyserling pe care îl mentionează Steiner.

  21. Vezi, de asemenea, discuţiile despre Keyserling în periodicul Dreigliederung des Sozialen Organismus, vol. 2, 1920/1921, nr. 20-25, în mod special raportul scris de Ernst Uehli (1875-1959) despre conferinţa lui Rudolf Steiner din 16 noiembrie 1920, în nr. 21 şi 22. Comentarii despre Keyserling pot fi găsite în conferinţa lui Rudolf Steiner din 26 august 1921, publicată în periodicul Gegenwart, vol. 15, 1953-1954, nr. 2, pp. 49-64.

  22. Până în prezent sursa acestei afirmaţii făcută de Keyserling nu a fost descoperită.

  23. Goethe, Faust, partea a II-a, actul 2, scena 2, „Laboratorul“, versetul 6 989 şi urm. Homunculus spune lui Wagner, care rămâne în urmă:

    „Desfăşoară pergamentele antice,
    După cum a fost poruncit strânge elementele vieţii
    Și uneşte-le cu grijă unele cu altele,
    Considerând Ce-ul dar mai ales Cum-ul.
    În timp ce cutreier printr-o bucăţică de lume
    Voi descoperi, fără îndoială, punctul pe i.“
Stuttgart, 15 ianuarie 1921
  1. Sesiunea de întrebări şi răspunsuri de la sfârşitul celor patru conferinţe ţinute unei audienţe academice despre relaţia dintre ştiinţa spiritului şi domeniile specializate ale ştiinţei. Cele patru conferinţe din acest ciclu, Proben über die Beziehungen der Geisteswissenschaft zu den einzelnen Fachwissenschaften, au fost ţinute în Stuttgart în perioada 11-15 ianuarie 1921 şi au fost publicate în următoarele ediţii ale periodicului Gegenwart, vol. 14 (1952-1953): 11 ianuarie 1921, nr. 2, pp. 49-67; 12 ianuarie 1921, nr. 3, pp. 97-118; 15 ianuarie 1921, nr. 4/5, pp. 145-167; 14 ianuarie 1921, nr. 6, pp. 225-236 şi nr. 7, pp. 257-268; sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 15 ianuarie 1921, nr. 8, pp. 305-317. Aceste conferinţe vor fi publicate în GA 73a. Vezi, de asemenea, raportul asupra acestei conferinţe de Eugen Kolisko (1893-1939) în periodicul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2, 1920-1921; nr. 31, pp. 4-5, nr. 32, p. 5; nr. 33, p. 4.

  2. Căldura la graniţa dintre spaţiu şi anispaţiu. Impulsuri ale ştiinţei spirituale pentru dezvoltarea fizicii. Al doilea curs de ştiinţe naturale (GA 321), Stuttgart, 1-14 martie 1920.

  3. Rudolf Clausius (1822-1888), fizician din Berlin, Zürich, Würzburg şi Bonn. Clausius, împreună cu Ludwig Boltzmann (1844-1906) şi James Clark Maxwell (1831-1879), este considerat unul dintre fondatorii termodinamicii moderne care este bazată pe teoria cinetică a gazului şi pe mecanica statistică. Cartea lui Clausius Die Mecanische Wärmetheorie include tratatul lui asupra teoriei căldurii [1876-1891]. Vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 1 şi 11 martie 1920 (GA 321).

  4. Editorii celui de al doilea curs de ştiinţe naturale al lui Steiner (GA 321) arată că diverşi autori şi-au exprimat preocupările de a explica termodinamica pe baza mecanicii. Am dori să adăugăm aici că înaintea descoperirii mecanicii cuantice şi a statisticii cuantice nu era posibil să se reconcilieze încercările diverse de a dezvolta un model mecanic al structurii moleculare a materiei cu ajutorul unor constatări experimentale, în mod special al spectroscopiei. Despre acest subiect vezi Harman [1982J, capitolele V şi VI.

  5. Experimentul eterului drift condus de Michelson şi Morley început în 1881 era menit să determine viteza Pământului în raport cu presupusul eter staţionar cvasimaterial al fizicii. Rezultatul acestui extrem de precis experiment a fost negativ şi a ridicat întrebări despre validitatea tuturor teoriilor despre lumină şi electricitate care erau bazate pe ipoteza unui eter absolut staţionar. O explicaţie teoretică a acestor constatări a fost dată de Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) şi George Francis Fitzgerald (1851-1901), lucrând independent unul de celălalt. La scurt timp după, Albert Einstein (1879-1955) a dedus formulele rezultate, ca, de exemplu, contracţia Lorentz, din presupunerile de bază ale teoriei speciale a relativităţii (principiul relativităţii, constanţa absolută a vitezei luminii). Einstein a folosit o serie de experimente care există doar în gândire pentru a deduce şi ilustra teoria sa. (Nota traducătorului: aşa-numitele Gedankenexperiment.)

  6. Despre formulele pentru căldura conductivă şi radiantă şi despre explicaţiile care urmează aici, vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 12 martie 1920 (GA 321) şi 8 ianuarie 1921 (GA 323). Întrebările relevante sunt discutate conform cu metodele matematicii moderne în Dustmann/Pinkall [ 1992].

  7. Vezi, de exemplu, capitolul din Enigmele sufletului (GA 21) a lui Rudolf Steiner intitulat „Max Dessoir şi antroposofia“ şi discuţiile despre Hermann Keyseling de la sfârşitul sesiunii precedente de întrebări şi răspunsuri (15 octombrie 1920).

Dornach, 7 aprilie 1921
  1. Întrebări şi răspunsuri (dispută) în timpul celei de a doua conferinţe antroposofice de la Goetheanum, Dornach, din 3-10 aprilie 1921. Conferinţele lui Rudolf Steiner despre „Antroposofia şi ştiinţele specializate“ au apărut împreună cu sesiunea de întrebări şi răspunsuri (dispute) în Die befruchtende Wirkung der Anthroposophie auf die Fachwissenschaften (GA 76). Rapoartele lui Willy Stokar despre această conferinţă pot fi găsite în periodicul Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2 (1920-1921), nr. 42 şi 43. Rapoartele lui Eugen Kolisko au fost publicate în Die Drei, vol. 1 (1921-1922), pp. 471-478. Vezi, de asemenea, invitaţia la această conferinţă şi programul detaliat din Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 2 (1920-1921), nr.36.

  2. Metageometria este un termen aproape învechit, cuprinzând diverse tipuri de geometrie neeuclidiană. În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, aceste geometrii neeuclidiene includeau geometria proiectivă, hiperbolică şi eliptică, în general geometria spaţiilor cu curbură (geometria lui Riemann), şi geometria spaţiilor multidimensionale.

  3. Riemann: vezi nota l, Conferinţa 1 (24 martie 1905).

  4. Gauss: vezi nota 1, Conferinţa 1 (24 martie, 1905).

  5. „Metageometria lui Riemann“ înseamnă probabil sau aşa-numita geometrie eliptică, care a fost descoperită prima dată de Riemann şi este strâns înrudită cu geometria suprafeţei sferice, sau teoria generală ‒ de asemenea bazată pe lucrările lui Riemann ‒ a spaţiilor curbe (varietăţi cu o metrică riemanniană) din care geometria eliptică este doar un caz particular (spaţiul cu curbură constantă pozitivă).

  6. Kant nu făcea distincţie între concepţia matematică sau geometrică a conceptului despre spaţiu şi legile spaţiului perceput. El l-a interpretat pe ultimul ca o condiţie preliminară subiectivă necesară a percepţiei senzoriale. „Spaţiul este o idee necesară a priori şi stă la baza tuturor concepţiilor exterioare“ (Critica raţiunii pure = CRP, B 38). „Certitudinea apodictică a tuturor teoremelor geometrice se bazează pe această necesitate a priori şi pe posibilitatea construcţiei lor a priori“ (CRP, A 24). Astfel, „Geometria este o ştiinţă care determină sintetic, şi totuşi a priori, proprietălile spaţiului“ (CRP, B 40). „De exemplu, spaţiul are doar trei dimensiuni; asemenea afirmaţii nu se pot constitui şi nu pot fi deduse pe baza judecăţilor empirice“ (CRP, B 41).

    „Cum poate mintea să cuprindă o concepţie exterioară care precede obiectele însele şi în care conceptul ultimului poate fi determinat a priori? Aparent în măsura în care îşi are sediul numai în subiect, ca fiind calitatea formală a acestuia de a fi afectat de obiecte şi prin aceasta de a obţine reprezentarea directă a acestora, adică de a obţine intuiţia, aşadar numai ca formă a simţului exterior“ (CRP, B 41). Astfel, „Spaţiul nu este nimic altceva decât forma tuturor manifestărilor simturilor exterioare, adică condiţia subiectivă a naturii senzoriale care singură face posibilă percepţia noastră exterioară“ (CRP, B 42). Astfel, pentru Kant, legile spaţiului perceput coincid cu principiile geometrice care pot fi gândite. În timpul lui Kant, ideile despre măsurători şi spaţii neeuclidiene cu mai mult de trei dimensiuni nu apăruseră încă în matematică. În particular, nu făcea distincţie clară între proprietăţile topologice şi cele metrice care datează doar de la Riemann, aşa că el nu a văzut nicio diferenţă între atributul topologic al nemărginirii şi atributele metrice ale infinitului. Astfel, în explicaţiile sale despre „antinomiile gândirii pure“, unde el proclamă insolvabilitatea unor anumite probleme care nu pot fi interpretate din pespectiva sa, Kant spune: „Acelaşi lucru este adevărat cu privire la răspunsul dual la întrebarea despre mărimea Cosmosului, deoarece, dacă este infinit şi fără limite, este prea mare pentru toate conceptele empirice posibile. Dacă este finit şi limitat, atunci suntem îndreptăţiţi să întrebăm: Ce îi determină limitele?“ (CRP, B 515). Conceptul lui Kant despre spaţiu care se agaţă de geometria tridimensională euclidiană nu poate fi reconciliat cu diversele concepte despre spaţiu care s-au dezvoltat pe măsură ce matematica a continuat să se dezvolte . Unul dintre primii care a arătat clar acest lucru din perspectiva fizicii şi psihologiei a fost Hermann von Helmholtz (1821-1894). Despre acest subiect vezi discursul lui Helmholtz în Die Tatsachen in der Wahrnehmung [1878].

  7. Discuţia lui Kant despre paralogisme (concluzii false sau înşelătoare) şi antinomiile raţiunii pure constituie marea parte a volumului al doilea, Dialectica transcendentală a Criticii raţiunii pure [1787]. Kant a intenţionat să facă prin critica sa despre criteriile paralogismelor raţiunii pure o critică a pretenţiilor psihologiei raţionaliste a zilelor lui (incluzând problema preexistenţei sufletului, neschimbării etc.) mai degrabă decât o discuţie asupra paralogismelor clasice.

    „Un paralogism logic este falsitatea formală a unei concluzii raţionale, indiferent de conţinutul ei. Un paralogism transcendental are totuşi un motiv transcendental de a ajunge la o concluzie formal falsă. Astfel, o concluzie greşită de acest gen are motivele sale în natura raţionamentului uman şi poartă cu sine o iluzie inevitabilă, dacă nu cumva insolubilă“ (CRP, B 399). Aşa cum face mai târziu în discuţiile sale asupra antinomiilor raţiunii pure, Kant încearcă în discuţia sa despre paralogisme să demonstreze că ele se dizolvă numai când este aplicată propria sa concepţie, şi anume că noi putem cunoaşte numai manifestarea „lucrurilor în sine“ şi că în timp ce raţiunea noastră poate ordona aceste manifestări conform cu principii regulatoare (ca, de exemplu, formele percepute ale spaţiului şi timpului) nu este posibil a privi direct în constituţia lucrurilor în sine. Problema spaţiului joacă doar un rol periferic în discuţiile lui Kant asupra antinomiilor raţiunii pure, şi anume în cel de-al patrulea paralogism despre relaţia sufletului cu „posibile obiecte din spaţiu“ (CRP, B 402). În contrast, concepţia lui Kant despre spaţiu este de importanţă fundamentală în discuţia sa asupra sistemului de idei cosmologice din secţiunea despre antinomiile raţiunii pure. 

  8. Desigur, spaţiul euclidian tridimensional era punctul istoric de plecare şi, iniţial, fundamentul din care au fost dezvoltate conceptele neeuclidiene în geometria proiectivă şi în geometriile spa]iilor curbate şi multidimensionale. În aceste limite, noile fornie de spaţiu erau derivate din natură; deşi nu erau cazuri speciale ale spaţiului euclidian, ele au lărgit conceptul de spaţiu pe baza conceptelor euclidiene fundamentale. Referirea lui Steiner la logica circulară are de-a face cu faptul că obţinem doar o aparentă generalizare a conceptului de spaţiu câtă vreme conceptele relevante depind în mod esenţial de un punct de plecare euclidian.

    Evoluţia ulterioară a matematicii a arătat că ne putem dispensa de fundamentele euclidiene, că legile spaţiului pot fi dezvoltate pas cu pas fără a presupune dezvoltarea vreunui concept euclidian. Începem cu o varietate topologică care este definită ca liberă de coordonate, dotată cu o metrică, iar dacă este necesar, cu structuri geometrice diferenţiale, ajungând la geometria euclidiană ca la un caz special de varietate tridimensională metrică. Văzut sistematic, nu mai există nicio logică circulară implicată în acest proces. Atunci când Steiner a răspuns la această întrebare aceste chestiuni nu erau clarificate final nici chiar printre matematicieni. Vezi, de asemenea, notiţele scrise ale lui Rudolf Steiner şi notele de subsol corespunzătoare în nr. 114/115 din Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, Dornach, 1995, p. 49. În orice caz, cu privire la structura spaţiului real, conceptele matematice, care indică numai care forme spaţiale sunt posibile, sunt într-adevăr abstracte şi îndepărtate de realitate în acest sens, atâta vreme cât corespondenţele lor cu realitatea nu au fost stabilite.

  9. Conceptul de spaţiu care datează de la Euclid (aprox. 320-260 î.Ch.) poate fi găsit în cel de-al 13-lea volum al cuprinzătoarei sale lucrări Elementele, în mod special în cartea al XI-a şi într-o măsură mai mică, în cartea I. Această concepţie asupra spaţiului se concentrează asupra fundamentelor stereometriei, adică calcularea volumelor obiectelor tridimensionale.

  10. Despre relaţia imaginaţiei, inspiraţiei şi intuiţiei cu dimensiunile spaţiului, vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 19 şi 26 august 1923 (GA 227, pp. 39-41 şi 161-163). Vezi, de asemenea, conferinţele sale din 17 mai 1905 (GA 324a); 16 septembrie 1907 (GA 101, pp. 189 şi urm.); 15 ianuarie 1921 (GA 323, pp. 274-283); 8 aprilie 1922 (GA 82); 24 iunie 1922 (GA 213) şi sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 12 aprilie 1922 (GA 82 şi 324a).

  11. Vezi, de asemenea, conferinţele lui Rudolf Steiner din 9 şi 10 aprilie 1920 (GA 201); 17 martie 1921 (GA 324); 26 şi 27 decembrie 1922; 1 ianuarie 1923 (GA 326). În secţiunea despre conceptul lui Goethe despre spaţiu din Introduceri la scrierile de ştiinţe naturale ale lui Goethe (GA 1, pp. 288-295), Steiner dezvoltă, de asemenea, ideea că cele trei dimensiuni nu se pot schimba între ele, dar dintr-o perspectivă total diferită.

  12. În mod esenţial, geometria tridimensională este încă stereometrie, adică studiul proprietăţilor geometrice ale obiectelor tridimensionale. Unghiurile drepte şi conceptul de perpendicularitate joacă un rol important în geometria euclidiană, dar Euclid nu a pus niciun accent pe cub sau pe sistemul înrudit al celor trei axe perpendiculare.

    Introducerea implicită a unor asemenea axe ca sistem de referinţă pentru tratarea algebrică a curbelor datează de la Pierre de Fermat (1601-1665) şi René Descartes (1596-1650). Totuşi, amândoi aceşti matematicieni au folosit adesea axele oblice iar în munca lor sistemul de coordonate nu a jucat încă un rol ca structură independentă care poate fi disociată de obiectul geometric în discuţie. Până la sfârşitul secolului al XVIII-lea, acelaşi lucru era adevărat despre dezvoltarea geometriei analitice bazată pe munca acestor pionieri. Aplicarea sistematică a două direcţii perpendiculare sau oblice ca sisteme de referinţă şi pentru coordonate şi discuţia curbelor algebrice a avut loc prima dată în tratatul lui Isaac Newton (1643-1727) intitulat Enumeratio Linearum Tertii Ordinis (1676). Newton a fost, de asemenea, primul care a folosit coordonatele negative în mod sistematic pentru a desena curbe în toate cele patru cvadrante ale sistemului de coordonate. Geometria analitică a spaţiului tridimensional şi folosirea corespunzătoare a sistemului celor trei axe perpendiculare datează de la studiile sistematice asupra suprafeţelor făcute de Leonhard Euler (1707-1783). Geometria analitică în sensul modem a fost formulată definitiv în ultima parte a secolului al XVIII-lea şi începutul secolului al XIX-lea de către Gaspard Monge (1746-1818) şi elevul său François Lacroix (1765-1843), care a fost unul dintre cei mai de succes autori de manuale de matematică din secolul al XIX-lea. Înainte, sistemele de coordonate erau folosite în primul rând în conexiune cu figurile geometrice specifice, dar în noua geometrie analitică un sistem de coordonate preexistent oferea un reper pentru studiul figurilor geometrice, proporţiilor lor interne şi relaţiilor dintre ele. Cu privire la acest subiect, vezi opera de referinţă a lui Boyer [1956].

  13. Vezi discuţia asupra acestei probleme în nota 132 de mai sus. 

  14. Vezi sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 7 martie 1920 şi notele corespunzătoare.

  15. Întrebări şi răspunsuri (discuţie deschisă) din timpul Cursului de artă de la Goetheanum din 21 până în 27 august 1921. Rezumatele conferinţelor lui Rudof Steiner din timpul acestei conferinţe, făcute chiar de el, au fost publicate în Nachrichten der Rudolf Steiner ‒ Nachlassverwaltung, nr. 8, 1962, pp. 4-20. (Începând cu număru129 din 1970, numele acestei publicaţii este schimbat cu Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe.) Un program detaliat al conferinţei a fost publicat în jurnalele Dreigliederung des sozialen Organismus, vol. 3, nr.5 şi Das Goetheanum, vol. 1, 1921-1922, nr. 1. Copii ale conferinţelor au fost publicate prima dată în periodicul Gegenwart. Conferinta introductivă, din 21 august 1921, a apărut în vol. 14, 1952-1953, nr. 9/10, pp. 353-363; conferinţa din 23 august 1921, în vol. 14, nr. 11, pp. 417-428; conferinţa din 24 august 1921, în vol. 15, 1953-1954, nr. 1, pp. 4-19; conferinţa din 26 august 1921, în vol. 15, nr. 2, pp. 44-63. Publicarea acestei serii de conferinţe este plănuită în GA 73a. Sesiunea de întrebări şi răspunsuri apare aici tipărită pentru prima dată.
Dornach, 26 august 1921
  1. Comparaţi asta şi pasajele care urmează cu sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 15 octombrie 1920 şi notele corespunzătoare. 

  2. Vezi, de asemenea, conferinţele lui Rudolf Steiner din 2 mai 1920 (GA 201) şi 16 ianuarie 1921 (GA 323).

  3. În această conferinţă Rudolf Steiner enumeră aceste legi în ordinea dată de Copemic în capitolul 11 din primul volum al lucrării sale principale De Revolutionibus Orbium Coelestium. Vezi, de asemenea, notele 96 şi 97 la sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 15 octombrie 1920.

  4. Se pare că Rudolf Steiner se referă aici la reducerile lui Bessel, pe care le menţionează în sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 15 octombrie 1920.
Haga, 12 aprilie 1922
  1. Sesiunea de întrebări şi răspunsuri de la sfârşitul unei serii de conferinţe ţinute profesorilor universitari la Haga în perioada 7-12 aprilie 1922. Aceste conferinţe au fost publicate în volumul intitulat Damit der Mensch ganz Mensch werde. Die Bedeutung der Anthroposophie im Geistesleben der Gegenwart (GA 82, Dornach, 1994).

  2. Pentru mai multe informaţii despre Hinton vezi nota 1 la conferinţa din 31 martie 1905. Despre tessarakt vezi conferinţa din 31 mai 1905 şi notele corespunzătoare.

  3. Vezi notele 135 şi 136 şi pasajele corespunzătoare din sesiunea de întrebări în răspunsuri din 7 aprilie 1921.

  4. Vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 8, 9 şi 10 aprilie 1922 (GA 82). 

  5. Vezi pasajele similare de la sfârşitul conferinţei lui Rudolf Steiner din 10 ianuarie 1921 (GA 323, pp. 199-200) şi începutul conferinţei din 18 ianuarie 1921 (GA 323, pp. 318-320).

  6. Se pare că Steiner se referă aici la conferinţa pe care a ţinut-o în cadrul Societăţii matematice din Basel în iarna lui 1920-1921. Pentru mai multe detalii despre această conferinţă vezi eseul Über einen matematischen Vortrag Rudolf Steiner in Basel, în Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, nr. 114/115, Dornach, 1995.

  7. Vezi pasajele paralele din conferinţele din 11 ianuarie 1921 (publicate în Gegenwart, vol. 14, pp. 49-67, îndeosebi p. 65) şi 5 aprilie 1921 (GA 76).

  8. Vezi sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 7 martie 1920 şi notele corespunzătoare.

  9. Pentru mai multe despre acest subiect vezi conferinţele din 28 octombrie 1909 şi 10 februarie 1910, în Metamorfozele vieţii sufleteşti. Căli ale trăirilor sufleteşti, GA 58 şi 59.

  10. Friedrich Wilhelm Ostwald (1853-1932), chimist, teoretician al culorilor şi filosof al ştiinţei. În conferinţa sa Die Überwindung des wissenschaftlichen Materialismus din 20 septembrie 1895, care a inclus o pledoarie a propriilor sale concepţii despre lume bazate pe energie, în contrast conştient cu concepţia mecanicistă a lui Emil du Bois-Reymond (1818-1896), Ostwald a spus:

    „În timp ce eforturile de a interpreta fenomene familiare din fizică în termeni mecanici par zadarnice, eşuând până la urmă în fiecare încercare serioasă, faptul că succesul este chiar mai puţin posibil cu privire la fenomenul incomparabil mai complex al vieţii organice este o concluzie inevitabilă. Aceeaşi contradicţie principială se aplică şi aici iar pretenţia că toate fenomenele naturale pot fi reduse la fenomene mecanice nu poate fi considerată nici măcar o ipoteză de lucru folositoare; este pur şi simplu o eroare. Această eroare devine mai vizibilă atunci când ne confruntăm cu următorul fapt. O însuşire a tuturor ecuaţiilor mecanice este aceea că ele permit schimbarea semnului unităţii de timp. Adică din punct de vedere teoretic procese mecanice perfecte pot să se deruleze înapoi ca şi înainte. De aceea într-o lume pur mecanică nu ar exista mai devreme şi mai târziu aşa cum le cunoaştem în lumea noastră. Un copac ar putea să revină la stadiul de sămânţă, un fluture s-ar putea transforma înapoi într-o omidă, iar o persoană în vârstă într-un adult. Concepţia mecanicistă nu poate explica de ce se întâmplă asta şi din cauza sus-amintitei însuşiri a ecuaţiilor mecanice, nici nu este posibilă o asemenea explicaţie. Astfel, ireversibilitatea fenomenelor naturale dovedeşte existenţa proceselor care nu pot fi descrise prin ecuaţii mecanice şi prin aceasta am pronunţat condamnarea materialismului ştiinţific“ ([1895], pp. 20).

  11. Steiner vrea să spună că o linie dreaptă proiectivă trebuie vizualizată ca având numai un punct infinit depărtat (şi nu două).

  12. Fondatorul perspectivei moderne a fost Filippo Brunelleschi (1377-1446), arhitectul şi constructorul cupolei catedralei din Florenţa. Noua teorie a perspectivei a fost promovată prima dată de arhitectul şi savantul Leon Battista Alberti (1401-1472) şi de către pictorul şi matematicianul Piero della Francesca (1416-1492). Cartea lui Albrecht Dürer (1471-1528), Underweysung der messung mit dem zirkel und richtscheyt in linien, ebnen und ganzen corporen [1525] a avut o importanţă decisivă asupra regiunii culturale de la nord de Alpi.

  13. Asupra unei perspective a culorii vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 2 iunie 1923 (GA 291) şi 19 aprilie 1922 (GA 304, p. 208) şi sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 11 martie 1920.
Dornach, 29 decembrie 1922
  1. Comentariile suplimentare ale lui Rudolf Steiner din timpul ciclului de conferinţe Der Enstehungsmoment der Naturwissenschaft in der Weltgeschichte und ihre seitherige Entwickelung, GA 326. Comentarii asupra discuţiei care a urmat după o conferinţă a lui Ernst Blümel (1884-1952) în Die vier Raumdimensionen im Lichte der Anthroposophie. Până în prezent nu s-a găsit nicio copie a conferinţei lui Blümel.

  2. Vezi conferinţele ţinute în perioada 26-28 decembrie 1922 (GA 326). Despre spaţiul tactil şi vizual vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 17 martie 1921 (GA 324) şi 1 ianuarie 1923 (GA 326).

  3. Rudolf Steiner indică în foarte multe locuri tranziţia de la sferă la plan sau de la cerc la linia dreaptă. Vezi pasajele paralele din acest volum în conferinţa din 24 martie 1905 şi întrebările şi răspunsurile din 2 septembrie 1906, 28 iunie 1908 şi 25 noiembrie 1912.

  4. Pentru mai multe informaţii despre „realitatea întrevăzută“ prin geometria proiectivă vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 11 ianuarie 1921 (publicate în Gegenwart, vol. 14, 1952, nr. 2, pp. 49-67; plănuit pentru publicare în GA 73a); 5 aprilie 1921 (GA 76); sesiunea de întrebări şi răspunsuri din 12 aprilie 1922 (GA 324a şi 82).

  5. Astăzi mişcările specifice sunt înţelese ca posedând doar un singur grad de mişcare, adică mişcările care sunt astfel restricţionate încât există doar un singur parametru liber pentru mişcare. Totuşi se pare că ceea ce Steiner vrea să indice aici este problema foarte generală a mişcării supuse unor condiţii secundare sau forţe de constrângere. Formularea newtoniană a mecanicii se dovedeşte a nu putea fi mânuită în calcularea mişcărilor supuse condiţiilor secundare. Mai mult, această formulare face dificil să fie introduse coordonate nerectilinii standard pentru mişcare. Ecualiile Lagrange, care sunt bazate pe un principiu al calculului mecanic variaţional, oferă soluţii elegante pentru ambele probleme.

  6. Vezi conferinţa lui Rudolf Steiner din 27 decembrie 1922 (GA 326).

  7. Despre numerele negative vezi conferinţele lui Rudolf Steiner din 7 ianuarie şi 8 ianuarie 1921 (GA 323).

  8. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matematician, fizician şi astronom la Turino, Berlin şi Paris. Deducerea, discuţia şi aplicaţiile ecuaţiilor numite mai târziu după numele lui Lagrange constituie marea parte a cărţii sale Mécanique analytique (Paris, 1788).

  9. Vezi conferinţa lui Rudolf Steiner din 28 decembrie 1922 (GA 326).