Biblioteca antroposofică


Rudolf Steiner

A PATRA DIMENSIUNE
Matematică şi adevăr

GA 324a


Şase conferinţe ţinute la Berlin între 24 martie şi 7 lunle 1905
Două conferinţe ţinute la Berlin la 7 noiembrie 1905 şi 22 octombrie 1908
Răspunsuri la întrebări puse între 1904 şi 1922

Traducere din limba engleză de Florin SECOŞAN
Confruntare cu textul german de biolog dr. Petre PAPACOSTEA

Nr. bibliografic 324a

Traducerea s-a făcut după
The fourth dimension. Sacred geometry, alchemy and mathematics

Anthroposophic Press, 2001

Titlul în original: Die vierte Dimension. Mathematik und Wirklichkeit


© Toate drepturile pentru traducerea în limba română sunt rezervate
Editurii UNIVERS ENCICLOPEDIC
București 2008

COLECȚIA INIȚIERI
Seria Biblioteca antroposofică

Coordonatorul colecției: biolog dr. PETRE PAPACOSTEA
Redactor: MARIA STANCIU
Tehnoredactor: MIHAELA TUDOR
Coperta: SILVIU IORDACHE


Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
STEINER, RUDOLF
A patra dimensiune Matematică şi adevăr: Şase conferinţe ţinute la Berlin între 24 martie şi 7 iunie 1905, Două conferinţe ţinute la Berlin la 7 noiembrie 1905 şi 22 octombrie 1908, Răspunsuri la întrebări puse între 1904 şi 1922 / Rudolf Steiner; trad. din lib. eng.: Florin Secoșan; confruntare cu textul german: Petre Papacostea. - Bucureşti : Univers Enciclopedic, 2008
ISBN 978-973-637-167-7

I. Secoșan, Florin (trad.)
II. Papacostea, Petre

141.332


Societatea antroposofică din România
Strada Vișinilor nr. 17, sector 2, București
Tel.: 021 323 20 57
www.antroposofie.ro
email: romantrop@yahoo.com


ISBN 978-973-637-167-7


coperta cartii

coperta spate

COPERTA IV

În acest ciclu de conferinţe Rudolf Steiner pune în discuţie valoarea spaţiului tridimensional imaginat ca fiind construit pe trei axe, x, y, z, perpendiculare fiecare pe celelalte două. El consideră acest spaţiu un produs al abstractizării şi-l numeşte spaţiu rigid. El crede că acest concept nu ne permite să înţelegem realitatea vie, atât la nivel cosmic cât şi al indivizilor lumii vii. Prin creşterea sa antigravitaţională, planta ne permite să constatăm existenţa unei a patra dimensiuni, animalul are cinci dimensiuni, iar omul şase dimensiuni.

Rudolf Steiner dezvăluie numeroase aspecte ce nu pot să nu trezească interesul cititorului pentru lucruri care, în majoritatea cazurilor, nu fac parte din preocupările obişnuite ale acestuia. Explicaţia constă în logica impecabilă a discursului. Acest fapt se explică prin competenţa cu care unifică punctele de vedere matematice cu cel interior spiritual al celei de a patra dimensiuni şi prin bogăţia surselor de specialitate citate.

Noi nu putem înţelege spaţiul tridimensional decât descoperind continuu că el este străbătut de manifestările pluralidimensionalităţii.

biolog dr. PETRE PAPACOSTEA




CUPRINS

Treptele adevărului (biolog dr. Petre Papacostea)

În legătură cu publicarea conferinţelor lui Rudolf Steiner.

Despre această ediţie.

Prefaţă la ediţia engleză (David Booth)

Partea I
Conferinţe despre a patra dimensiune

CONFERINŢA IBerlin, 24 martie 1905 — Gândirea matematică şi realitatea. Dimensiunile spaţiului. Trecerea de la dimensiuni inferioare la dimensiuni superioare prin mişcare. Simetria în oglindă. Analogii ale lumii exterioare cu senzaţia interioară: curbarea unor segmente de dreaptă tot mai mari în cercuri, pecetea şi ceara de pecetluire. A patra dimensiune ca o posibilitate conceptuală şi ca realitate. Vitalizarea reprezentării spaţiului; modelele lui Oskar Simony.

CONFERINŢA a II-aBerlin, 31 martie 1905 — Gânduri despre spaţiul cvadridimensional în conexiune cu opera lui Hinton. Relaţii simetrice. „Bucle“ în spaţiu ca procese şi forţe naturale reale, de exemplu, mişcarea Lunii şi a Pământului în jurul Soarelui. Construcţia dimensiunilor. Omul ca fiinţă cvadridimensională; în stadiile timpurii ale evoluţiei el era tridimensional. Lumea astrală. Punct şi periferie; un punct radiind lumină în afară este opusul unei sfere radiind întuneric spre centru. Cubul şi opusul său. Abilitatea de a radia ca dimensiune suplimentară. Aplicaţia acesteia la pătrat şi cub.

CONFERINŢA a III-aBerlin, 17 mai 1905 — Studierea spaţiului cvadridimensional ca pregătire pentru înţelegerea lumii astrale şi a altor forme de existenţă superioară. Atribute caracteristice ale lumii astrale: numerele, figurile spaţiale şi perioadele de timp trebuie să fie citite simetric, adică în ordine inversă sau ca propriile lor imagini în oglindă. Moralitatea apare, de asemenea, în forme inversate sau imagini-oglindă. Periferia este centrul. Viaţa umană ca o stagnare a două curente venind dinspre trecut şi viitor. Pragul, ca trăire astrală a panoramei evoluţiei viitoare, include întrebarea: Vrei să intri? Kamaloka revelează natura animală nepurificată a fiinţei umane; aceasta este semnificaţia mai adâncă a doctrinei transmigraţiei sufletelor. Pătratul fizic şi cel mental. Pătratul fizic ca o stagnare a două perechi de curente opuse. Cubul în planul fizic şi în cel mental. Dimensiuni pozitive şi negative: Lumea astrală este cvadridimensională. Animalul ca stagnare a celor două curente opuse al plantei şi al omului.

CONFERINŢA a IV-aBerlin, 24 mai 1905 — Exerciţii de reprezentare a formaţiunilor tridimensionale în două dimensiuni, cu referire la Hinton. Desfăşurarea şi reprezentarea în culori a celor trei dimensiuni ale cubului. Reprezentarea celei de a treia dimensiuni în plan prin mişcarea unui pătrat bicolor printr-o a treia culoare. Transferarea acestei operaţii la reprezentarea unei figuri cvadridimensionale, tessarakt-ul. Desfăşurarea tessarakt-ului prin comparaţie cu desfăşurarea cubului. Taina alchimică şi adevărata vedere a spaţiului cvadridimensional. Vizualizarea meditativă a mercurului şi sulfului. Substanţa astrală.

CONFERINŢA a V-aBerlin, 31 mai 1905 — Desfăşurarea cubului conduce la o nouă analogie pentru reprezentarea tridimensională a tessarakt-ului (cubul cvadridimensional). Analogia ca metodă pentru elaborarea unei reprezentări mentale a figurilor cvadridimensionale. Înjumătăţirea numărului de feţe ale unui octaedru dă naştere unui tetraedru; această operaţie nu poate fi efectuată în cazul cubului. Proprietăţile geometrice ale dodecaedrului rombic comparate cu cele ale cubului şi ale tetraedrului/octaedrului. Cubul ‒ pol opus spaţiului tridimensional. Legarea figurilor bi şi tridimensionale prin formaţiuni curbate: pătratul curbat şi cubul curbat. Cubul obişnuit este rezultatul aplatizării unui cub curbat. Inversarea acestei operaţii prin curbarea unei figuri tridimensionale poate da naştere unei figuri cvadridimensionale.

CONFERINŢA a VI-aBerlin, 7 iunie 1905 — Un hexagon este proiecţia unui cub în spaţiul bidimensional; un dodecaedru rombic este proiecţia unui tessarakt în spaţiul tridimensional. Axele cubului şi ale dodecaedrului rombic. Alegoria peşterii a lui Platon ca imagine a relaţiei dintre realitatea cvadridimensională şi spaţiul tridimensional. Mişcarea sau timpul ca expresie şi manifestare a vieţii, cea de a patra dimensiune. Cristalele au plane ca frontiere, în timp ce lucrurile vii au frontiere sferice (celulele). Distrugerea celei de a patra dimensiuni a lucrurilor vii conduce la imaginea sa tridimensională statică. A cincea dimensiune care rezultă din întâlnirea dintre fiinţe cvadridimensionale se manifestă în cea de a treia dimensiune ca activitate extrasenzorială. Conştienţa de sine este proiecţia celei de a şasea dimensiuni în lumea fizică tridimensională. Ceea ce a experimentat Moise pe muntele Sinai este un exemplu de fiinţă cvadridimensională reală cu două dimensiuni obişnuite, plus două dimensiuni superioare, timpul şi activitatea senzorială. Dezvoltarea abilităţilor spirituale prin muncă interioară intensivă, cu analogiile prezentate aici.

SPAŢIUL CVADRIDIMENSIONALBerlin, 7 noiembrie 1905 — Crearea dimensiunilor prin mişcare. Transformarea unui cerc într-o linie dreaptă. Importanţa recentei geometrii proiective sintetice pentru o concepere corectă a spaţiului. Spaţiul este de sine stătător. Răsuciri în curbe închise ale unor benzi de hârtie ca un exemplu de înnodare a unor dimensiuni. În realitate, mişcările Lunii şi Pământului în jurul Soarelui sunt şi ele înnodate. Vitalizarea concepţiei noastre despre spaţiu. Un hexagon este proiecţia unui cub; un dodecaedru rombic este proiecţia unui tessarakt. Tranziţia la realitate. Timpul, mişcarea şi dezvoltarea ca expresii ale celei de a patra dimensiuni la plante. Dacă însuşi timpul devine viu, aptitudinea senzorială se naşte la animale ca expresie a celei de a cincea dimensiuni. Fiinţele umane au şase dimensiuni.

DESPRE SPAŢIUL MULTIDIMENSIONALBerlin, 22 octombrie 1908 — Matematicienii nu pot face mai mult decât să discute despre posibilitatea spaţiului multidimensional. Cele trei dimensiuni ale cubului, lungimea, lăţimea şi înălţimea. Ce este o suprafaţă plană? O simplă tranziţie prin calcul la dimensiunile superioare nu conduce la realitate. Încercarea de a înţelege spaţiul ‒ de exemplu, infinitul ‒ pe baza numerelor conduce la confuzie. Numerele nu au nicio relaţie sau au o relaţie neutră cu spaţiul. Dispariţiile şi reapariţiile repetate indică existenţa unei a patra dimensiuni. Respingerea unui argument materialist. Desfăşurarea frontierelor unui pătrat şi ale unui cub. Desfăşurarea celor opt cuburi ale tessarakt-ului.

Partea a II-a
Întrebări şi răspunsuri (1904-1922)

STUTTGART, 2 septembrie 1906 — Educaţie ocultă înseamnă a lucra asupra corpului nostru astral şi asupra corpului eteric. Lumea astrală este cvadridimensională. Viaţa îşi revelează a patra dimensiune prin creştere. Comparaţie cu un cerc care, crescând continuu, devine o linie dreaptă. Spaţiul astral este conţinut în sine.

NÜRNBERG, 28 iunie 1908 — Spaţiul astral, în contrast cu spaţiul fizic, nu este limitat. El se comportă ca o linie dreaptă proiectivă conţinută în sine. Vizualizarea unui cerc care se extinde pentru a deveni o linie dreaptă.

DÜSSELDORF, 21 aprilie 1909 — Spaţiul în perspectivă esoterică. Relaţia ierarhiilor şi a Treimii cu spaţiul. Timpul ca rezultat al interacţiunii unor fiinţe inferioare cu altele superioare. Chiar şi pentru ierarhii, spaţiul există ca o creaţie a Treimii.

DÜSSELDORF, 22 aprilie 1909 — Lucrul cu concepte geometrice de bază trezeşte facultăţi clarvăzătoare. O linie dreaptă conţinută în sine (proiectivă) ca exemplu de relaţii spaţiale astrale.

BERLIN, 2 noiembrie 1910Plante, animale şi fiinţe umane ca fiinţe cu patru, cinci şi respectiv şase dimensiuni.

BASEL, 1 octombrie 1911 — Lumina posedă interioritatea ca a patra dimensiune.

MÜNCHEN, 25 noiembrie 1912 — Problema realităţii dimensiunilor superioare. Matematicienii pot formula idei teoretice despre aceste dimensiuni. Realitatea superioară este într-adevăr multidimensională dar am avea nevoie de o matematică mai bună pentru a o fundamenta corect. Unele subiecte de la frontierele matematicii sunt importante. Exemplul unei linii drepte proiective. Nu trebuie să supraestimăm matematica.

BERLIN, 13 februarie 1913 — Semnificaţia ocultă a Secţiunii de aur.

BERLIN, 27 noiembrie 1913 — În viaţa de după moarte, spaţiul şi timpul sunt total diferite; viteza, mai degrabă decât timpul, aparţine experienţei noastre lăuntrice. Timpul este dependent de procesele dezvoltării lăuntrice.

STUTTGART, 1919 — Răspunsuri scrise la întrebări despre matematică.

STUTTGART, 7 martie 1920 — Viteza luminii şi propagarea undelor luminoase. Metodele mecanice de măsurare nu sunt aplicabile luminii. Pe măsură ce se răspândeşte în spaţiu lumina nu este pierdută în infinit ci este supusă unei legi a elasticităţii. Probleme privitoare 1a teoria relativităţii a lui Einstein din perspectiva ştiinţei spiritului. În mecanică timpul este o abstracţie; numai viteza este reală. Discuţii despre formula vitezei. Durata vieţii unui organism şi mărimea sa nu sunt relative sau arbitrare. Teoria relativitătii trebuie contracarată de o teorie a caracterului absolut al sistemelor totale.

STUTTGART, 7 martie 1920 — Energia stocată într-o masă (conform teoriei lui Einstein) poate fi utilizată tehnologic dacă poate fi controlată. Formula lui Einstein E = mc2 este un tip de energie potenţială. Problema absolutizării procedurilor aritmetice. Timpul imanent al sistemelor totale.

STUTTGART, 11 martie 1920 — Numerele pozitive şi negative ca realităţi; materie ponderabilă şi imponderabilă. Simbolizarea spectrului culorilor. Numerele pozitive ‒ realităţi fizice; numerele negative ‒ realităţi extraspaţiale eterice; numerele imaginare ‒ domeniul astral; numerele superimaginare ‒ adevărata fiinţă a Eului. Divizorii lui zero trebuie incluşi. Fiinţa umană ca o stare de echilibru între suprasensibil şi subsensibil. Sistemele de numere pe suprafeţe curbe. Conceptul de „doar calculabil“ în matematică. Necesitatea de a putea concepe numere negative şi imaginare fără ajutorul geometriei.

STUTTGART, 11 martie 1920 — Domeniul matematicii şi geometriei sunt stări intermediare între un arhetip şi imaginea sa în planul fizic. Geometrie inerent mobilă sau fluidă. Dimensiuni superioare. Fiinţa umană ca imagine fizică a lumilor spirituale. Perspectiva cromatică. Extinderea geometriei fluide printr-un factor de intensitate cu ajutorul culorilor. Vederea stereoscopică ca interacţiune echilibrată între ochiul stâng şi cel drept; această vedere vitalizată este centrul dinamic al organelor asimetrice.

DORNACH, 30 martie 1920 — Fenomenologia ca sistematizare a fenomenelor. Relaţia unei axiome cu corelaţiile geometrice este comparabilă cu relaţia unui fenomen arhetipal cu fenomenele derivate. Nevoia de a clarifica conceptul de experienţă. Descoperirea geometriei neeuclidiene arată că formulele matematice, ca şi concluziile fenomenologice, cer verificări empirice în realitate.

DORNACH, 31 martie 1920 — Extinderea matematicii. Fenomenologia reală este preocupată de fiinţe, dar nevoia pentru control mecanic exclude fiinţele şi conduce la multe realizări tehnice pe socoteala progresului cunoaşterii, adică a cunoaşterii fiinţei umane. Teoria culorilor a lui Goethe. Extinderea perspectivei noastre cere, de asemenea, extinderea câmpului matematicii. Eterul nu este de imaginat în termeni materiali. Când intrăm pe tărâmul eteric, trebuie să substituim numerele pozitive prin numere negative în formulele matematice. Dacă vrem să trecem dincolo de domeniul vieţii trebuie să introducem mărimi imaginare care ar putea oferi o ieşire din incapacitatea actuală de a controla natura numai tehnic.

DORNACH, 15 octombrie 1920 — Cea de a treia lege a lui Copernic este în mod nejustificat ignorată. În realitate, Soarele se mişcă de-a lungul unei linii spiralate, iar Pământul şi celelalte planete îl urmează. Ştiinţa trebuie să includă fiinţa umană, dacă e să reflecte realitatea. Teoria relativităţii conduce 1a abstracţiuni. Spaţiul şi timpul sunt abstracţii; doar viteza este reală. Cea de a treia lege a lui Copernic şi corecţiile lui Bessel. Gândirea matematică căreia îi lipseşte simţul realităţii conduce la ireal. În teoria multimilor numerele sunt dizolvate iar noi plutim în abstracţiuni. În Declinul Occidentului, Oswald Spengler dezvoltă în mod curajos concepte bazate pe realitate, dar aceste concepte nu se potrivesc unul cu celălalt. Hermann Keyserling oferă numai învelişuri goale de cuvinte.

STUTTGART, 15 ianuarie 1921 — Studiul fenomenelor ca bază a extinderii antroposofice a cunoaşterii. Formulele matematice trebuie verificate pe baza realităţii. Teoria căldurii. Teoria lui Einstein este bazată pe experimente gândite. Căldura de contact şi cea radiantă ca pozitivă şi negativă. Trebuie adăugată direcţia radiară şi centripetă a efectului. Poziţia antroposofică nu precede fenomenele dar se bazează în mod corespunzător pe ele. În viitor, avem nevoie de o intensificare a adevăratei abordări ştiinţifice.

DORNACH, 7 aprilie 1921 — În matematică, dimensiunile spaţiale se pot schimba între ele. Nevoia de a distinge între mărginire şi infinitate (Riemann). Conceptele metageometriei (geometrie neeuclidiană); Gauss. Spaţiul matematic ‒ fie spaţiul euclidian, spaţiul lui Riemann sau al altor geometrii ‒ este abstract. Concepţia lui Kant despre spaţiu este anulată de matematică. Consecinţele metageometriei conţin un cerc vicios. Pentru a obţine un concept de spaţiu care corespunde realităţii trebuie să începem cu experienţa umană. Derivarea dimensiunii adâncimii care nu se poate schimba cu nicio altă dimensiune. Imaginaţia conduce la vizualizare bidimensională, inspiraţia la vizualizare unidimensională. În spaţiul real dimensiunile nu se pot schimba între ele; există intensităţi diferite în direcţii diferite. Spaţiul fix este o abstracţie derivată din spaţiul real. Teoria relativităţii este logică dar străină de realitate.

DORNACH, 26 august 1921 — Un scurt rezumat al cercetării ştiinţifice spirituale despre mişcarea spiralată a Pământului şi Soarelui. Concluziile celor mai multe modele ale sistemului solar sunt unilaterale şi rezultă din perspective foarte specifice. Soarele se mişcă pe o spirală iar Pământul îl urmează. În realitate se schimbă numai direcţia din care privim de pe Pământ spre Soare. Toate celelalte mişcări sunt mult mai complicate. Cea de a treia lege a lui Copernic a fost omisă.

HAGA, 12 aprilie 1922 — Generalizarea sistemului de axe de coordonate la un nivel abstract conduce la spaţii cu patru, cinci şi în cele din urmă cu n dimensiuni. Hinton şi tessarakt-ul. Timpul ca a patra dimensiune este bazat pe o înţelegere abstractă a spaţiului. A patra dimensiune o neagă de fapt pe a treia, aşa că rămân doar două dimensiuni. La fel, cea de a cincea dimensiune o neagă pe a doua şi astfel rămânem cu o dimensiune. Pentru a explica forma unei flori trebuie să aşezăm originea sistemului de coordonate într-o sferă infinit de mare şi să ne mişcăm centripetal. În domeniul eteric apar mişcări de glisare şi răzuire. Hiperbola, ca un exemplu. Prin geometria sintetică noi dezvoltăm treptat un mod de a manipula spaţiul bazat pe realitate. Teoria relativităţii a lui Einstein este absolut corectă şi de netăgăduit cu privire la spaţiul tridimensional perceput. Lucrurile arată altfel atunci când facem tranziţia la domeniul eteric. Corpul eteric ocupă spaţiul total. Prin vederea interioară noi ajungem la absolut. Teoria relativităţii evaluează totul din perspectiva observatorului şi nu poate fi combătută aici din această perspectivă. Totuşi validitatea sa încetează atunci când intrăm în domeniul spiritual, unde graniţele dintre obiect şi subiect sunt de asemenea eliminate. Pentru a înţelege corpul fizic ca fiind un corp spaţial şi corpul forţelor formative ca fiind un corp temporal trebuie să separăm conceptele de spaţiu şi timp. Timpul este măsurat de obicei numai în unităţi spaţiale. Nu acesta este cazul în experienţa adevărată a timpului care apare odată cu vederea imaginativă. La un anumit moment în viaţa umană apare o secţiune temporală a vieţii sufletului. Secţiunea include întregul trecut pământese al persoanei. Perspective care depind de viaţa noastră sufletească. „Mai târziu“ şi „mai devreme“ sunt legate în mod organic şi nu superficial, ca şi relaţiile spaţiale. Mâinile împreunate la tinereţe devin mâini care binecuvântează la bătrâneţe. Organismul temporal este revelat în întregime doar imaginaţiei dar putem obţine o idee despre el studiind procesele temporale în viaţa noastră sufletească. Ostwald spune că procesele organice, spre deosebire de procesele mecanice, nu sunt reversibile. În fiinţa umană elementul temporal este o realitate, pe când într-o maşină elementul temporal este doar o funcţie a spaţiului. Timpul real nu este o a patra dimensiune aşa cum este în continuumul spaţio-temporal a lui Einstein. Lumea timpului este de fapt lumea planului timpului; ea este bidimensională. Analogul său în geometria proiectivă este planul limită al spaţiului tridimensional. Acesta joacă un rol în ceea ce este numit observator în lumea imaginativă. Perspectiva culorilor este un alt analog al lumii imaginative. Două dimensiuni devin reale în lumea imaginativă, o dimensiune în lumea inspirată. Lumea intuitivă este asemenea punctului (nuldimensională). Totuşi acesta nu poate fi aplicat spaţiului euclidian.

DORNACH, 29 decembrie 1922 — Matematica este un produs al spiritului uman. Este dificil să se folosească matematica pentru a întrevedea realitatea. Tranziţia de la o sferă la un plan proiectiv. Sarcini concrete pentru matematicieni: a înţelege realitatea în termeni matematici ‒ de exemplu, explicând spaţiul tactil şi vizual în termenii ecuaţiilor diferenţiale, care trebuie integrate conform cu metoda lui Lagrange. Variabilele pentru spaţiul tactil sunt pozitive, iar pentru spaţiul vizual sunt negative. Diferenţa integralelor este aproape zero. Calcule adiţionale scot la iveală ecuaţiile pentru acustică. Trebuie să învăţăm să ne restricţionăm calculele la domeniul realităţii concrete.

Note • Partea I

Note • Partea a II-a

Bibliografie