Biblioteca antroposofică


Rudolf Steiner

ARTA EDUCAŢIEI. DISCUŢII DE SEMINAR ŞI
CONFERINŢE ASUPRA PLANULUI DE ÎNVĂŢĂMÂNT

GA 295


A PAISPREZECEA DISCUŢIE DE SEMINAR

Stuttgart, 5 septembrie 1919

U. dezvoltă principiile predării muzicii la clasele I şi a II-a.

Rudolf Steiner: N-ar trebui să neglijăm a-i face pe copii să audă ceea ce este obiectiv, despărţit de om, instrumentul. Trebuie să avem grijă ca elevul să ajungă cu destul de mult timp înainte de a împlini nouă ani, în a doua jumătate a clasei a II-a, să se apropie de instrumentul solo, astfel încât pianul s-ar alătura mai târziu pentru aceia care intră aici în discuţie. Esenţialul în acest domeniu este să începem aşa cum trebuie.


T. oferă o continuare a calculului dobânzilor, cu trecerea la calculul algebric. Dacă F = capital final, I = capital iniţial, D = dobândă, P = procent, T = timp,


I × P × T

I × P × T
atunci F = I + D. Deoarece  D =

, atunci F = I +


100

100

Rudolf Steiner: În zilele noastre nu se poate plasa niciodată un capital în această formă. Această formă are o valoare reală numai dacă T este egal cu un an sau e mai mic. Căci în realitate sunt date două cazuri: ori se ridică dobânzile anual, şi atunci rămâne mereu acelaşi capital iniţial, ori se lasă dobânzile la capital, şi atunci e nevoie de calcularea dobânzii dobânzilor. Dacă-l lăsăm deoparte pe T, adică, dacă socotim pentru un an, este real. E necesar să le dăm copiilor realitatea.

Va fi bine să lucrăm cu rigurozitate, pentru ca trecerea la calculul cu litere să se facă în mod real. Mai întâi vom dezvolta trecerea de la adunare la înmulţire, apoi de la scădere la împărţire.


Rudolf Steiner explică apoi trecerea de la socotitul cu numere la socotitul cu litere, cu ajutorul următorului exemplu: Scriem mai întâi o sumă a unor numere în care termenii sunt toţi diferiţi între ei:

20 = 7 + 5 + 6 + 2

Se poate şi ca unii din termeni să fie egali:

25 = 5 + 5 + 9 + 6

Şi se poate ca toţi termenii să fie egali între ei

18 = 6 + 6 + 6.

Dacă începem acum, în felul descris ieri, să înlocuim numerele prin litere, eu am o dată suma S1 = a + a + a, aici sunt trei de a, de trei ori a = 3 × a; apoi S2 = a + a + a + a + a, de cinci ori a = 5 × a; apoi S3 = a + a + a + a + a + a + a, de şapte ori a = 7 × a ş.a.m.d.

Fac asta de multe ori, de nouă ori, douăzeci şi una de ori, de douăzeci şi cinci de ori. O fac de m ori:

Sm = a + a + a + a + a ... de m ori = m × a.

Obţinem astfel din numărul nedefinit al termenilor pe unul din factori, în timp ce adunătorul însuşi e celălalt factor. În acest fel se poate dezvolta şi înţelege cu uşurinţă din adunare înmulţirea. În acest fel facem trecerea de la numerele concrete la mărimile algebrice, la  a × a = a2, la a × a × a = a3.

Tot astfel se poate deduce din scădere împărţirea.

Dacă-l scădem pe b dintr-un număr foarte mare a, obţinem restul r1.

r1 = a - b

Dacă-l scădem încă o dată pe b, obţinem restul

r2 = a - b - b = a - 2b

Scăzându-l încă o dată pe b, rezultă:

r3 = a - b - b - b = a - 3b ş.a.m.d.

Putem face aceasta până când din numărul a nu mai rămâne nici un rest, o putem face de n ori:

rn = a - b - b - b - b ... de n ori = a - nb.

Dacă nu mai rămâne nici un rest, adică dacă ultimul rest este 0,

0 = a - nb.

Atunci a a fost împărţit exact, pentru că nu rămâne nici un rest, a = nb. L-am scăzut pe b de n ori, l-am împărţit pe a numai în b-uri, a/b = n, acum a a fost consumat în întregime. Am constatat că pot face aceasta de n ori şi am trecut astfel de la scădere la împărţire.

Putem spune: Înmulţirea este un caz particular al adunării, împărţirea este un caz particular al scăderii, numai că nu adăugăm, respectiv nu scoatem afară doar o dată, ci de multe ori.


Vine vorba despre numerele negative şi imaginare.

Rudolf Steiner: Un număr negativ este un scăzător pentru care nu mai există descăzut; o invitaţie la o operaţie pentru care nu mai există substanţă, care nu poate fi executată. ‒ Eugen Dühring [ Nota 40 ] a respins numerele imaginare drept absurdităţi şi a spus despre felul cum a definit Gauß numerele imaginare că este o măgărie, că nu ele nu ar fi o realitate, ci o fantasmagorie.

Aşadar, dezvoltăm întotdeauna înmulţirea din adunare şi pe urmă ridicarea la putere din înmulţire. Apoi, împărţirea din scădere, extragerea rădăcinii din împărţire.

adunare
înmulţire
ridicare la putere
scădere
împărţire
extragerea rădăcinii

Abia după ce începem socotitul cu litere, de pe la unsprezece, doisprezece ani, trecem la ridicarea la putere şi la extragerea rădăcinii, pentru că la extragerea rădăcinii joacă un rol important ridicarea la putere a unui polinom algebric.

În acest context mai trebuie să se facă următoarele lucruri: calcularea venitului brut, a venitului net, a tarei, a ambalajului.


Se pune o întrebare cu privire la folosirea formulelor.

Rudolf Steiner: Acum se pune problema dacă preferaţi să nu folosiţi prea des formula, ci să parcurgeţi tot mereu raţionamentul descris ‒ aici putând, în orice caz, să vă ocupaţi de dezvoltarea vorbirii, e bine să faceţi aşa ceva -, sau dacă vreţi să treceţi, totuşi, la formulă. Dacă procedaţi într-un mod plin de tact, în aşa fel încât formula să fie înţeleasă bine, şi acest lucru este cât se poate de folositor pentru a practica până la un anumit punct dezvoltarea vorbirii.

Dar, începând de la un anumit moment, e bine, de asemenea, să facem în aşa fel încât formula să fie ceva faţă de care copilul să aibă sentimente. Să facem din formulă ceva care are viaţă interioară, astfel încât, de pildă, dacă la


C × P × T
D =


100

T devine mai mare, copilul să aibă sentimentul că totul se măreşte.

Cu aceasta a fost spus ceea ce voiam să vă spun referitor la aceste lucruri, şi anume că numerele concrete ar trebui folosite cu un asemenea prilej, ca şi la calcularea dobânzilor şi procentelor, pentru a face trecerea spre socotitul cu litere şi pentru a dezvolta în legătură cu aceasta înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere şi extragerea rădăcinii. Sunt lucruri care trebuie să fie făcute neapărat cu copiii.

Acum, eu aş vrea să pun întrebarea: Consideraţi că e bine să-i învăţaţi pe copii ridicarea la putere şi extragerea rădăcinii înainte să fi trecut la socotitul cu litere sau aţi face acest lucru numai după aceea?

T.: Ridicarea la putere ‒ înainte, extragerea rădăcinii ‒ după aceea.

Rudolf Steiner: Aşadar, dvs. porniţi, şi ar trebui ca şi pe viitor să porniţi, de la a face cât mai devreme, de pe la unsprezece, doisprezece ani, trecerea la socotitul cu litere, făcând abia după aceea ridicarea la putere, extragerea rădăcinii. Căci, după ce s-a învăţat socotitul cu litere, se poate face cu copiii într-un mod foarte simplu şi economic ridicarea la puterea a doua, a treia, la alte puteri, şi extragerea rădăcinii, pe când înainte s-ar cere teribil de mult timp pentru aceasta. Veţi preda uşor şi într-un mod economic, dacă aţi discutat mai întâi cu copiii socotitul cu litere.


E. prezintă un mod de a trata, pentru elevii ultimei clase, sub raport istoric, întemeierea şi dezvoltarea oraşelor şi vorbeşte, referindu-se la perioada năvălirilor maghiare, de „Germania”.

Rudolf Steiner: Eu aş fi aici foarte atent ca nu cumva să ia naştere nişte reprezentări confuze. Bineînţeles că în acea vreme, în timpul lui Heinrich, supranumit „Constructorul de oraşe”, Germania nu exista. Trebuie să ne exprimăm cam aşa: oraşe de pe Rin sau de pe Dunăre, care mai târziu au devenit germane. Nu-i aşa, înainte de secolul al X-lea nici nu avem de-a face cu maghiarii; înainte, în cazul unor asemenea năvăliri, era vorba de huni, de avari. Începând cu secolul al X-lea, putem spune, desigur, „Germania”.

Aici, de pildă ‒ aceasta este o temă care se tratează cu elevii ultimei clase din ciclul elementar ‒, eu aş căuta să dezvolt în copii o idee despre cronologie. Dacă spunem aşa, „secolul al IX-lea, secolul al X-lea”, reprezentarea devine prea puţin concretă. Cum aţi proceda pentru ca în copii să ia naştere  o reprezentare concretă despre timp?

Aţi putea să le explicaţi copiilor: „Dacă tu ai acum vârsta pe care o ai, ce vârstă au mama ta, tatăl tău? Şi ce vârstă au bunicul şi bunica?” ‒ Scoateţi la suprafaţă întregul şir al generaţiilor şi-l puteţi face pe copil să înţeleagă că un asemenea şir de trei generaţii constituie aproximativ o sută de ani. Aşadar, în o sută de ani trăiesc trei generaţii. Deci, acum o sută de ani străbunicii erau copii. Acum nouă secole nu au fost trei generaţii, ci 9 x 3 = 27 generaţii ‒ „Ia imaginează-ţi că tu”, în spunem copilului, „ţii mâna tatălui tău, acesta ţine mâna bunicului tău, acesta ţine mâna străbunicului tău ş.a.m.d. Dacă ar sta aşa unul lângă altul, al câtelea bărbat ar fi Heinrich I, al câtelea bărbat li s-ar fi împotrivit maghiarilor în jurul anului 926? Ar fi cel de al douăzeci şi şaptelea bărbat.” ‒ Acest lucru l-aş înfăţişa în modul cel mai sugestiv. După ce i-am condus pe copii în mod corect la reprezentarea despre ce mult e de atunci, le-aş descrie invaziile maghiarilor. Le-aş spune că în Europa Centrală au năvălit pe atunci maghiarii. Că maghiarii s-a năpustit cu o sălbăticie care a făcut ca toţi să fie nevoiţi să fugă, până şi copiii din leagăne au trebuit să fie duşi pe vârfurile munţilor. Că maghiarii năvălitori au ars până la pământ sate şi păduri. Aş descrie în modul cel mai sugestiv invazia maghiară.


E. arată în continuare cum Heinrich, ştiind că în cetatea fortificată Goslar a putut ţine piept maghiarilor, a luat hotărârea de a întemeia oraşe fortificate şi că în acest fel s-a ajuns la numeroase întemeieri de oraşe.

Rudolf Steiner: N-aţi putea face încă o dată această prezentare din punctul de vedere al istoriei culturii şi civilizaţiei? Căci afirmaţia că Heinrich ar fi întemeiat aceste oraşe este o legendă istorică de o tentă cam monarhistă. Toate aceste oraşe din secolul al X-lea existau deja în linii mari, ca târguri. Ele doar au fost stimulate în dezvoltarea lor, prin faptul că oamenii care locuiau în vecinătatea acestor oraşe s-au aliat pentru a se putea apăra mai bine de maghiarii năvălitori, făcând astfel mai puternice aceste localităţi. Aici au acţionat nişte motive mai mult economice, care au dus la formarea de oraşe. Heinrich n-a făcut prea mare lucru în această privinţă.

V-aş ruga doar să prezentaţi toate acestea într-un mod foarte sugestiv, să procedaţi într-un mod cât mai viu, pentru ca în copii să ia naştere imagini lăuntrice sugestive, astfel încât copiii să poată "pipăi" cu adevărat totul. Trebuie să vă puneţi în mişcare fantezia şi să folosiţi lucruri de felul celor pe care vi le-am arătat când a fost vorba să faceţi în aşa fel încât timpul să devină concret. Nu câştigăm cu adevărat nimic dacă ştim în ce an s-a dat, de pildă, lupta de la Zama ş.a.m.d., dar dacă ne reprezentăm, dacă ştim: Carol cel Mare se trage dintr-o viţă cu treizeci de strămoşi, dacă ne-am întinde mâinile de-a lungul generaţiilor, am obţine prin aceasta o reprezentare sugestivă, concretă despre timp. Atunci, acest timp vine mult mai aproape de noi ‒ da, priveşte, el vine mult mai aproape! ‒, dacă ştim că-l putem găsi pe Carol cel Mare într-o linie genealogică de treizeci de strămoşi.


T.: Oare n-ar fi bine ca la asemenea prezentări de istoria culturii şi civilizaţiei să se atragă atenţia şi asupra gândirii şi simţirii cu totul diferite ale oamenilor din aceste epoci?

Rudolf Steiner: Da, asupra acestui lucru am atras atenţia şi cu alte prilejuri în conferinţele mele. În primul rând, asupra faptului că e bine să prezentaţi într-un mod cât mai sugestiv marele avânt din preajma secolului al XV-lea, simţirea şi gândirea cu totul diferite ale oamenilor dinainte de această epocă şi de după ea. De pildă, deja Lamprecht, pe care însă nu vreau să-l recomand în mod cu totul deosebit, se străduie să constate o cu totul altă gândire şi simţire a oamenilor care au trăit înainte de această epocă. ‒ Documentele n-au fost încă deloc cercetate în această privinţă.

Dacă vreţi să vă transpuneţi puţin în studiul istoriei culturii, va trebui să puteţi dezvolta deja un anumit simţ de a percepe asemenea lucruri, iar dacă veţi avea un asemenea simţ pentru a percepe atât lucrurile mai generoase, cât şi lucrurile mai meschine, pe care le povestesc autorii, atât lucrurile cele mai filistine, cât şi cele cu orizont mai larg, veţi putea ajunge la reprezentări mai juste despre fenomenele istoriei culturii şi civilizaţiei.


Rudolf Steiner recomandă, în urma unei întrebări, să se achiziţioneze pentru biblioteca dascălilor:

Buckle, “Istoria civilizaţiei din Anglia”;

Lecky [ Nota 41 ], “Istoria iluminismului din Europa”.

Cu ajutorul acestora se poate cultiva metoda pentru studiile de istoria culturii şi civilizaţiei. Din Lamprecht ar intra în discuţie părţile mai vechi, dar multe lucruri sunt prezentate strâmb şi subiectiv.

Dacă nu v-aţi însuşit acest instinct de a percepe forţele reale care impulsionează istoria culturii, riscaţi să socotiţi, cu o îngustime de minte, cu un diletantism, asemănătoare cu cele ale lui Wildenbruch [ Nota 42 ], că dramele împăraţilor şi regilor şi încăierările de familie cum ar fi, de pildă, cea dintre Ludovic Piosul şi fiii săi, ar fi nişte fenomene esenţiale din istoria culturii.

Cartea lui Gustav Freytag [ Nota 43 ] „Imagini din trecutul Germaniei” este foarte bună; totuşi, nu avem voie să ne lăsăm molipsiţi prea mult de această tihnă a unei istorii scrise pentru mătuşi amatoare de cafea. Tocmai în perioada actuală noi trebuie să ieşim din cadrul stilului de gândire şi simţire care există în lucrările acestor reprezentanţi ai literaturii de pe la mijlocul secolului al XIX-lea, stilul lui Gustav Freytag, Julian Schmidt ş.a.m.d. Lassalle [ Nota 44 ] l-a poreclit „Schmulian Jüd”, la Lassalle această poreclă nu avea o semnificaţie antisemită.


Se pune o întrebare cu privire la lucrarea lui Houston Stewart Chamberlain, „Temeiurile secolului al XIX-lea”.

Rudolf Steiner: Şi în cazul lui Chamberlain [ Nota 45 ] trebuie să dezvoltăm mai întâi simţul potrivit, fiindcă ce scrie el este pe un sfert ceva plin de duh, dar trei sferturi sunt fraze goale, vorbărie nesănătoasă. La el putem citi multe lucruri foarte bune, dar trebuie să dobândim noi înşine o privire de ansamblu şi să ne formăm o părere personală. Descrierile istorice sunt mai bune în cărţile lui Buckle şi Lecky. Chamberlain este mai mult aşa, un purtător de smoking. El este, totuşi, un domn cam vanitos, care nu trebuie considerat chiar o autoritate,  dar care a făcut unele observaţii juste. De altfel, sfârşitul său n-a fost prea frumos, mă refer la procesul cu „Frankfruter Zeitung”.


Se aminteşte de scrierile lui Kautsky [ Nota 46 ].

Rudolf Steiner: Da, dacă iei de regulă contrariul a ceea ce el arată. De la socialiştii moderni primim un material faptic bun şi interesant, dacă nu ne lăsăm amăgiţi de teoriile care străbat descrierile lor.

O imagine ciudată oferă şi Mehring [ Nota 47 ], în felul cum mai întâi îi mustră pe social-democraţi în cartea sa, în istoria social-democraţiei, câtă vreme a fost liber-cugetător; apoi, după ce a trecut la social-democraţi, el nu face decât să-şi mute critica asupra liber-cugetătorilor.


M. prezintă o introducere în noţiunile fundamentale ale geografiei matematice pentru elevii de treisprezece ani, observaţii asupra răsăritului de Soare şi a orbitei parcurse de Soare.

Rudolf Steiner: După ce i-aţi făcut pe copii să iasă sub cerul liber, mai târziu puteţi să transformaţi foarte bine acest lucru în desen şi să aveţi grijă să existe un anumit paralelism între desen şi cele văzute de copii afară. Numai că trebuie să vă sfătuiesc să nu folosiţi prea mult dintr-o dată elementul linie. Este foarte important să-i învăţăm pe copii aceste lucruri, dar dacă sintetizăm prea mult, îi facem pe copii să nu mai înţeleagă şi să nu mai reţină. Putem include elementul linie în orele de geografie şi geometrie. Asemenea expuneri s-ar încheia, probabil, cu dezvoltarea noţiunilor de ecliptică şi coordonate.


A. dezvoltă aceeaşi temă, răsăritul şi apusul de Soare, pentru copiii mai mici, şi caută să explice mersul Soarelui [ Nota 48 ] şi al planetelor cu ajutorul unui desen schematic.

Rudolf Steiner: Ei bine, această înţelegere a lucrurilor îşi va pierde tot mai mult din importanţă, pentru că ceea ce s-a presupus de atunci încoace cu privire la aceste mişcări nu este absolut just. În realitate, avem de-a face cu o asemenea mişcare (Rudolf Steiner desenează la tablă):

desen

Avem, de pildă, Soarele aici (poziţia I) aici sunt Saturn, Jupiter, Marte, iar aici sunt Venus, Mercur, Pământul. Acum, toate se mişcă în direcţia indicată (linia elicoidală), una după alta, în aşa fel încât atunci când Soarele a trecut dincoace (poziţia a II-a), Saturn, Jupiter, Marte, sunt aici, iar Venus, Mercur şi Pământul, dincoace. Şi acum, Soarele se roteşte mai departe şi merge într-acolo (poziţia a III-a). Prin aceasta, ia naştere iluzia că Pământul se învârte în jurul Soarelui. În realitate, Soarele merge înainte, iar Pământul se târăşte în urma lui.


B. prezintă o descriere din cadrul culturii şi civilizaţiei Vechiului Egipt.

Rudolf Steiner: Înainte de toate, ar trebui să arătăm ce înseamnă celălalt principiu, cu totul diferit de cel actual, de a reproduce ceva. Vechii egipteni aveau deficienţa că nu vedeau în perspectivă. Vechiul egiptean pictează faţa din profil, iar restul corpului văzut din faţă. Ar trebui să-i facem pe copii să cunoască această particularitate a modului de a percepe lumea.

Pe urmă, ar trebui să stabilim legătura dintre desenul pictural al egiptenilor şi principiul pe care-l aveau, care ţine de istoria naturală, că înfăţişau oamenii cu cap de animal şi aşa mai departe. Deja din vremuri foarte vechi a fost împinsă foarte departe comparaţia dintre om şi animale. Am putea să-l învăţăm apoi pe copil ceea ce este prefigurat în orice cap uman, lucru pe care, parţial, copilul îl mai vede şi astăzi [ Nota 49 ]. Egiptenii mai percepeau această înrudire dintre fizionomia omului şi animale. Ei se mai aflau pe această treaptă de percepţie copilărească.


B. întreabă ce ar trebui să li se spună, de fapt, copiilor în legătură cu piramidele, când se discută despre ele.

Rudolf Steiner: Este, fireşte, extraordinar de important să căutăm treptat să punem şi pentru copii ceea ce e just în locul a ceea ce e greşit. De fapt, piramidele erau lăcaşuri de iniţiere. Şi aici ajungem să le transmitem copiilor noţiunea de învăţământ superior din Egipt, care era totodată o iniţiere. Trebuie să le povestim ceva din cele ce se petreceau acolo. Aici se săvârşeau acţiuni religioase, aşa cum sunt săvârşite ele astăzi în biserici, acţiuni care făceau însă, totodată, să poată fi cunoscut Universul. Vechiul egiptean şi învăţa, atunci când i se arăta, în cadrul unor acţiuni religioase solemne, ceea ce se petrece în Univers şi în evoluţia omenirii. Serviciul religios şi învăţământul religios erau una. De fapt, învăţământul şi actul cultic se confundau.


B. descrie munca de ridicare a piramidelor şi obeliscurilor şi spune că ar trebui să presupunem că pentru aducerea, prelucrarea şi zidirea uriaşelor blocuri de piatră, trebuie să fi fost nevoie de mai multe milioane de oameni. El spune că trebuie să ne întrebăm cum de a fost posibil cu mijloacele tehnice din acea vreme să se mişte din loc şi să se aşeze unul peste celălalt uriaşele, grelele blocuri de calcar şi de granit.

Rudolf Steiner: Da, dar veţi face să ia naştere în copii nişte reprezentări absolut corecte numai spunându-le că, dacă ar lucra oameni cu forţa corporală actuală, ar fi nevoie de două ori şi jumătate mai mulţi oameni. Dar, în realitate, vechii egipteni aveau de două ori şi jumătate mai multă forţă corporală decât oamenii din zilele noastre, cel puţin aceia care au lucrat la ridicarea piramidelor şi a altor monumente de acest fel. Existau, fireşte, şi oameni mai slabi.


B. întreabă dacă trebuie să intrăm în mitologie.

Rudolf Steiner: Nu-i aşa, dacă nu putem înfăţişa mitologia egipteană în adevărata ei formă, trebuie să renunţăm la acest lucru. Dar dacă suntem în stare să prezentăm mitologia egipteană în adevărata ei înfăţişare, atunci s-o facem. În Şcoala Waldorf ar fi foarte bine să formăm deja la copii noţiunile juste legate de mitologia egipteană, pe care o putem cunoaşte, desigur, foarte bine, dacă vrem să ne adâncim în ea.


K. face o expunere [ Nota 50 ] legată de elaborarea noţiunilor: loc geometric, cerc, elipsă, hiperbolă, lemniscată. (Acest lucru urmează să fie continuat a doua zi.)