Biblioteca antroposofică


Rudolf Steiner

A PATRA DIMENSIUNE

GA 324a


PARTEA I
Conferinţe despre a patra dimensiune


CONFERINŢA I

Berlin, 24 martie 1905

Pentru că voi începe prin a discuta aspecte elementare ale celei de a patra dimensiuni, ceea ce veţi auzi astăzi vă va putea dezamăgi, dar abordarea lor în detalii de mai mare profunzime ar cere o reală cunoaştere a conceptelor superioare ale matematicii. Aş dori pentru început să vă înzestrez cu concepte foarte generale şi elementare. Trebuie să distingem între realitatea spaţiului cvadridimensional şi posibilitatea de a gândi despre el. Spaţiul cvadridimensional are de-a face cu o realitate care depăşeşte cu mult realitatea senzorială obişnuită. Când intrăm în acest domeniu trebuie să ne transforrnăm gândirea şi să ne familiarizăm cu modul în care gândesc matematicienii.

Trebuie să ne dăm seama că la fiecare pas pe care îl fac matematicienii trebuie să fie conştienţi de efectul pe care acesta îl are asupra întregului curs al raţionamentului. Când ne ocupăm de matematică trebuie să realizăm, de asemenea, că înşişi matematicienii nu pot face măcar un singur pas în realitatea celei de a patra dimensiuni. [Ei pot ajunge la concluzii doar plecând de la ceea ce poate fi sau nu gândit.] Subiectele cu care vom avea de-a face sunt la început simple, dar se pot complica atunci când abordăm conceptul celei de a patra dimensiuni. Întâi trebuie să fim lămuriţi asupra a ceea ce înţelegem prin dimensiuni. Cea mai bună cale pentru a obţine claritate este de a verifica dimensionalitatea diferitelor obiecte geometrice, care apoi ne vor conduce la consideraţii care au fost făcute prima dată de mari matematicieni ca Bolyai, Gauss şi Riemann ( Nota 1 ).

Cel mai simplu obiect geometric este punctul. Nu are absolut nicio extindere; el poate fi numai gândit. El este fixarea unei poziţii în spaţiu. Nu are nicio dimensiune. Prima dimensiune este dată de o linie. Linia dreaptă are o dimensiune, lungimea. Când mişcăm o linie care nu are grosime, ea părăseşte prima dimensiune şi devine un plan. Un plan are două dimensiuni, lungime şi lăţime. Când mişcăm un plan el părăseşte aceste două dimensiuni. Rezultatul este un corp solid cu trei dimensiuni, înălţime, lăţime şi adâncime (figura 1).

figura 1

Când mişcaţi un corp solid (de exemplu, un cub) prin spaţiu, rezultatul este tot un corp tridimensional. Nu-l puteţi face să părăsească spaţiul tridimensional mişcându-l.

Mai există încă câteva concepte de care avem nevoie. Să considerăm un segment de linie dreaptă. Are două limite, două puncte finale, A şi B (figura 2).

figura 2

Să presupunem că vrem să facem ca punctele A şi B să se suprapună. Pentru a face asta trebuie să îndoim segmentul. Ce se întâmplă atunci? Este imposibil să facem ca punctele A şi B să se suprapună dacă rămânem în dreapta unidimensională. Pentru a uni aceste două puncte trebuie să părăsim linia dreaptă ‒ adică prima dimensiune ‒ şi să intrăm în a doua dimensiune, planul. Când facem să-i coincidă capetele, segmentul devine o curbă închisă, de exemplu un cerc (figura 3).

figura 3

Un segment de linie dreaptă poate fi transformat într-un cerc numai părăsind prima dimensiune. Puteţi relua acest proces cu o suprafaţă dreptunghiulară dar numai dacă nu rămâneţi în cele două dimensiuni. Pentru a transforma dreptunghiul într-un cilindru sau tub, trebuie să intraţi în a treia dimensiune. Această operaţie este îndeplinită în acelaşi mod ca cea precedentă în care am adus la suprapunere cele două puncte, părăsind prima dimensiune. În cazul unui dreptunghi, care este aşezat în plan, trebuie să ne mişcăm în a treia dimensiune pentru a face ca cele două capete să coincidă (figura 4).

figura 4

Putem oare imagina o operaţie asemănătoare cu un obiect care are deja el însuşi trei dimensiuni? Gândiţi-vă la două cuburi congruente ca limite ale unui corp tridimensional. Puteţi face ca unul din cuburi să alunece în celălalt. Acum imaginaţi-vă că un cub este roşu pe o faţă şi albastru pe faţa opusă. Singurul mod de a face acest cub să coincidă cu celălalt, care este geometric identic dar ale cărui feţe roşie şi albastră sunt inversate, ar fi să întoarcem unul din cuburi şi apoi să-l facem să coincidă cu celălalt (figura 5).

figura 5

Să considerăm un alt obiect tridimensional. Nu puteţi pune mănuşa stângă pe mâna dreaptă. Dar dacă vă imaginaţi o pereche de mănuşi care sunt imagini simetrice una alteia în oglindă şi apoi luaţi în considerare segmentul de linie dreaptă cu capetele sale A şi B, puteţi vedea cum de fapt mănuşile aparţin una alteia. Ele formează o singură figură tridimensională cu o suprafaţă limită (planul oglindă) în mijloc. Acelaşi lucru este adevărat pentru cele două jumătăţi simetrice ale pielii unei persoane ( Nota 2 ). Cum pot fi făcute să coincidă două obiecte tridimensionale care sunt simetrice una alteia? Numai părăsind a treia dimensiune aşa cum am părăsit prima şi a doua dimensiune în exemplele precedente. O mănuşă dreaptă sau stângă pot fi trase pe mâna stângă, respectiv dreaptă numai trecându-le prin spaţiul cvadridimensional ( Nota 3 ). În construirea adâncimii, a treia dimensiune a spaţiului perceput, noi suprapunem (tragem) imaginea ochiului drept peste cea a ochiului stâng, cu alte cuvinte, contopim cele două imagini ( Nota 4 ).

Şi acum să considerăm unul din exemplele lui Zollner ( Nota 5 ). Aici avem un cerc şi, în afara lui, un punct P (figura 6). Cum putem aduce punctul P în interiorul cercului fără să tăiem circumferinta? Nu putem face asta dacă rămânem în plan. Aşa cum am avut nevoie să părăsim cea de a doua dimensiune şi să intrăm în a treia pentru a face tranziţia de la pătrat la cub, trebuie de asemenea să părăsim a doua dimensiune în acest exemplu. La fel, în cazul sferei, este imposibil să ajungem în interior fără să străpungem suprafaţa sferei sau fără să părăsim a treia dimensiune ( Nota 6 ).

figura 6

Acestea sunt posibilităţi conceptuale, dar sunt de semnificaţie practică pentru epistemologie, în mod special cu privire la problema epistemologică a obiectivităţii conţinuturilor percepţiei. Întâi trebuie să înţelegem clar cum percepem de fapt. Cum dobândim cunoştinţe despre obiecte prin simţuri? Vedem o culoare. Fără ochi nu am percepe-o. Fizicienii ne spun că ceea ce se află afară în spaţiu nu este culoare, ci doar mişcare spaţială care intră în ochi şi este preluată apoi de nervul optic şi transmisă la creier unde apare, de exemplu, percepţia culorii roşii. Mai departe ne putem întreba dacă culoarea roşie există şi în cazul în care nu există senzaţia.

Nu am putea percepe culoarea roşie dacă nu am avea ochi sau sunetul soneriei dacă nu am avea urechi. Toate senzaţiile noastre depind de tiparele de mişcare care sunt transformate de aparatul nostru fizico-psihic. Chestiunea devine şi mai complicată dacă ne întrebăm unde este localizată acea unică calitate pe care noi o numim roşu. Este pe obiectul pe care îl percepem sau este un proces vibraţional? O mulţime de mişcări care îşi au originea în afara noastră intră în ochi şi se continuă în creier. Oriunde vă uitaţi găsiţi procese vibraţionale şi procese nervoase, nicidecum culoarea roşie. Nu o veţi găsi de asemenea nici studiind ochiul însuşi. Ea nu se află nici în afara noastră, nici în creier. Roşul există numai atunci când noi, ca subiecţi, interceptăm aceste mişcări. Este prin urmare imposibil să vorbim despre cum ajunge roşul să întâlnească ochiul sau sunetul do diez urechea?

Întrebarea este: Ce este o reprezentare de acest tip, unde se naşte ea? Aceste întrebări abundă peste tot în filosofia secolului al XIX-lea. Schopenhauer a propus definiţia „Lumea este reprezentarea noastră“ ( Nota 7 ). Ce mai rămăne, în acest caz, pentru corpul exterior? Aşa cum o reprezentare de culoare poate fi „creată“ prin mişcare, la fel şi percepţia mişcării poate apărea în noi prin ceva care nu se mişcă. Să presupunem că lipim 12 instantanee ale unui cal în mişcare pe suprafaţa interioară a unui cilindru echipat cu 12 fante (crăpături) între aceste imagini. Dacă privim dintr-o parte la cilindrul rotitor, o să avem impresia că vedem mereu acelaşi cal şi că picioarele sale se mişcă ( Nota 8 ). Organizarea noastră corporală poate induce impresia mişcării chiar atunci când, în realitate, obiectul respectiv nu se mişcă. În acest mod ceea ce noi numim mişcare se dizolvă în nimic.

Ce este deci materia? Dacă dezbrăcăm materia de culoare, mişcare, formă şi de toate celelalte calităţi percepute senzorial, nu mai rămâne nimic. Dacă senzaţiile „subiective“ cum este culoarea, sunetul, căldura şi mirosul care apar în conştienţa individualităţilor ca un rezultat al stimulilor mediului trebuie căutate înăuntrul nostru, la fel trebuie căutate senzaţiile „obiective“, primare, de formă şi mişcare. Lumea exterioară dispare cornplet. Această stare de lucruri creează grave dificultăţi pentru epistemologie ( Nota 9 ).

Presupunând că toate calităţile obiectelor există în afara noastră, cum intră ele în noi? Unde este punctul în care exteriorul este transformat în interior? Dacă dezbrăcăm lumea exterioară de tot conţinutul percepţiilor senzoriale, ea nu mai există. Epistemologia începe să semene cu baronul Münchhausen care încerca să se ţină suspendat în aer ţinându-se de propriul păr ( Nota 10 ). Pentru a explica senzaţiile care apar în noi trebuie să presupunem că lumea exterioară există, dar trebuie să ne întrebăm cum anume ajung diferite aspecte ale acestei lumi înăuntrul nostru sub forma reprezentărilor?

Este necesar să formulăm această întrebare într-un mod diferit. Să considerăm câteva analogii care sunt necesare pentru descoperirea legăturii dintre lumea exterioară şi senzaţiile interioare. Să ne întoarcem la segmentul de dreaptă cu capetele sale A şi B. Pentru a face aceste puncte să coincidă trebuie să ne mişcăm dincolo de prima dimensiune şi să îndoim segmentul (figura 7).

figura 7

Să ne imaginăm acum că facem să coincidă aceste puncte în aşa fel încât să se întâlnească sub linia originală. Putem trece apoi prin punctele suprapuse şi să ne întoarcem la punctul de la care am plecat. Dacă segmentul original este scurt, cercul rezultat este mic, dar dacă curbăm segmente mai lungi în cercuri, punctul unde se întâlnesc capetele se mişcă tot mai departe de linia originală până când ajunge la distanţa infinită. Curbura creşte încet până când nu mai putem distinge cu ochiul liber circumferinţa cercului de o linie dreaptă (figura 8).

figura 8

În mod asemănător, atunci când umblăm pe Pământ el apare ca fiind o suprafaţă plană, deşi este rotund. Dacă ne imaginăm cele două jumătăţi ale segmentului extinzându-se în infinit, cercul chiar coincide cu o linie dreaptă ( Nota 11 ). Astfel, o linie dreaptă poate fi interpretată ca un cerc al cărui diametru este infinit. Acum putem să ne imaginam că dacă ne mişcăm şi mai departe de-a lungul liniei drepte în cele din urmă vom trece prin infinit şi ne vom întoarce din cealaltă parte.

figura 9

În locul unei linii să ne imaginăm o situaţie pe care o putem asocia cu realitatea. Să ne imaginăm că punctul C devine tot mai rece pe măsură ce se mişcă de-a lungul circumferinţei cercului şi se îndepărtează de punctul de plecare. Când trece prin limita inferioară A, B şi începe călătoria de întoarcere pe cealaltă parte, temperatura începe să crească (figura 9).

Astfel, pe drumul de întoarcere punctul C întâlneşte condiţii care sunt opuse celor întâlnite în prima jumătate a călătoriei. Tendinţa de încălzire continuă până când este atinsă temperatura iniţială. Procesul rămâne acelaşi indiferent cât de mare este cercul; căldura descreşte iniţial şi apoi creşte din nou. Şi la linia care se extinde în infinit temperatura descreşte într-o parte şi creşte în cealaltă. Acesta este un exemplu despre cum putem aduce viaţa şi mişcarea în lume şi începem să înţelegem lumea într-un sens mai înalt. Aici avem două activităţi mutual dependente. Atât cât priveşte observaţia senzorială, procesul care se mişcă spre dreapta nu are nimic de-a face cu procesul care se întoarce dinspre stânga, şi totuşi cele două sunt mutual dependente ( Nota 12 ).

Şi acum să punem în legătură obiectele lumii exterioare cu starea de răcire, iar senzaţiile noastre interne cu starea de încălzire. Deşi lumea exterioară şi senzaţiile noastre interne nu se află în legătură în mod direct prin nimic perceptibil cu simţurile, ele sunt legate şi dependente una de alta în acelaşi fel ca şi procesele pe care tocmai le-am descris. În sprijinul celor spuse despre relaţia lor putem folosi şi metafora peceţii şi cerei. Pecetea lasă o impresie exactă, o copie a ei însăşi în ceară chiar dacă nu rămâne în contact cu ceara şi nu există transfer de substanţă între ele. Ceara reţine o impresie fidelă a peceţii. Legătura dintre lumea exterioară şi senzaţiile noastre interioare este similară. Numai aspectul esenţial este transmis. Un set de circumstanţe îl determină pe celălalt, dar nu are loc niciun transfer de substanţă ( Nota 13 ).

Văzând în acest fel legătura dintre lumea exterioară şi impresiile noastre ne dăm seama că imaginile simetrice în oglindă sunt ca şi mănuşile dreapta şi stânga. Pentru a le face să coincidă cu o mişcare continuă avem nevoie de o nouă dimensiune a spaţiului. Dacă relaţia dintre lumea exterioară şi impresiile interne este analogă cu relaţia dintre figurile care sunt imagini în oglindă, atunci şi acestea pot fi făcute să coincidă numai cu ajutorul unei noi dimensiuni. Pentru a stabili o conexiune între lumea exterioară şi impresiile interioare trebuie să trecem printr-o a patra dimensiune, fiind încă într-a treia. Numai acolo unde suntem uniţi cu lumea exterioară şi cu impresiile interioare putem descoperi ce au ele în comun. Ne putem închipui imagini-oglindă plutind într-o mare în care pot fi făcute să coincidă. Astfel ajungem, deşi la început numai la nivelul gândirii, la ceva care este real dar transcende spaţiul tridimensional. Pentru a face asta avem nevoie să dăm viaţă ideii noastre de spaţiu.


Oskar Simony a încercat să folosească modele pentru a descrie formaţiuni spaţiale vitalizate ( Nota 14 ). Aşa cum am văzut, putem să ne mişcăm pas cu pas de la spaţiile cu nicio dimensiune până la imaginarea unui spaţiu cvadridimensional. Spaţiul cvadridimensional poate fi recunoscut cel mai uşor cu ajutorul imaginilor-oglindă sau a relaţiilor de simetrie. Curbele cu noduri şi panglicile bidimensionale oferă o altă metodă de a studia calităţile unice ale spaţiului tridimensional empiric aşa cum se raportează la spaţiul cvadridimensional. Ce înţelegem prin relaţii de simetrie? Atunci când punem în legătură figuri spaţiale apar anumite complicaţii: Aceste complicaţii aparţin numai spaţiului tridimensional; ele nu apar în spaţiul cvadridimensional ( Nota 15 ).

Să încercăm câteva exerciţii de gândire practică. Dacă tăiem un inel cilindric de-a lungul liniei mediane obţinem două inele. Dacă răsucim o panglică cu 180° înainte de a-i lipi capetele, tăind-o apoi în lungul mijlocului panglicii, va rezulta un singur inel răsucit care nu se va separa. Dacă vom răsuci o panglică cu 360° înainte de a-i lipi capetele se vor separa două inele care trec unul prin interiorul celuilalt. Şi, în sfârşit, dacă avem o panglică răsucită cu 720°, tăind-o, rezultă un nod ( Nota 16 ). Oricine care gândeşte la procese naturale ştie că asemenea răsuciri au loc în natură. În realitate, toate formaţiunile spaţiale răsucite posedă asemenea forţe. Luaţi, spre exemplu, mişcarea Pământului în jurul Soarelui şi mişcarea Lunii în jurul Pământului. Spunem că Luna descrie un cerc în jurul Pământului, dar dacă ne uităm mai atent ne dăm seama că de fapt descrie o linie care este răsucită în jurul orbitei Pământului, adică o spirală în jurul elipsei Pământului. Şi apoi avem Soarele care se mişcă rapid prin spaţiu, aşa încât Luna mai face o mişcare spiralată în jurul Soarelui. Astfel, liniile de forţă care se extind în spaţiu sunt foarte complexe. Trebuie să realizăm că avem de-a face cu concepte spaţiale complicate pe care le putem înţelege numai dacă nu încercăm să le fixăm, ci le permitem să rămână fluide.

Să recapitulăm ceea ce am discutat astăzi. Punctul nu are nicio dimensiune, dreapta are o singură dimensiune, suprafaţa două dimensiuni iar corpul solid are trei dimensiuni. Cum se raportează aceste concepte spaţiale unul la celălalt? Imaginaţi-vă că sunteţi o fiinţă care se poate mişca numai de-a lungul unei linii drepte. Ce fel de imagini spaţiale pot avea asemenea fiinţe? Asemenea fiinţe ar fi capabile să perceapă numai puncte şi nu propria lor dimensiune deoarece, dacă ar încerca să deseneze ceva în interiorul unei linii, punctele sunt singura opţiune. O fiinţă bidimensională ar fi capabilă să întâlnească numai linii, şi astfel să distingă numai fiinţe unidimensionale. O fiinţă tridimensională, cum ar fi un cub, ar percepe numai fiinţe bidimensionale. Fiinţa umană poate percepe trei dimensiuni. Dacă tragem concluzia justă, trebuie să spunem că, aşa cum o fiinţă unidimensională poate percepe numai puncte, o fiinţă bidimensională numai o dimensiune şi o fiinţa tridimensională numai două dimensiuni, o fiinţă care poate percepe trei dimensiuni trebuie să fie cvadridimensională. Pentru că putem delimita fiinţele exterioare tridimensionale şi putem manipula spaţii tridimensionale trebuie să fim fiinţe cvadridimensionale ( Nota 17 ). Aşa cum un cub poate percepe numai două dimensiuni şi nu propria tridimensionalitate, este, de asemenea, adevărat că fiinţele umane nu pot percepe a patra dimensiune în care trăim.