Biblioteca antroposofică


Rudolf Steiner

A PATRA DIMENSIUNE

GA 324a


CONFERINŢA a V-a

Berlin, 31 mai 1905

Ultima dată am încercat să obţinem reprezentarea unei formaţiuni spaţiale cvadridimensionale reducând-o la trei dimensiuni. Mai întâi am convertit o figură tridimensională într-una bidimensională. Am substituit dimensiunile cu culori, construind imaginea noastră prin folosirea a trei culori pentru a reprezenta cele trei dimensiuni ale cubului. Apoi am desfaşurat cubul în aşa fel încât toate suprafeţele s-au aşezat în plan, rezultând şase pătrate ale căror laturi, diferit colorate, au reprezentat cele trei dimensiuni în spaţiul bidimensional.

Apoi ne-am imaginat că transferăm fiecare pătrat în cea de a treia dimensiune, mişcându-l printr-o ceaţă colorată şi permiţându-i să reapară în cealaltă parte. Ne-am imaginat toate suprafeţele pătrate mişcându-se prin şi fiind colorate de pătratele de tranziţie. Astfel am folosit culori pentru a încerca să înfăţişăm cubul tridimensional în două dimensiuni. Pentru a reprezenta pătrate într-o singură dimensiune am folosit două culori diferite pentru laturile lor perechi; pentru a reprezenta un cub în două dimensiuni am folosit trei culori. Înfăţişarea unei figuri cvadridimensionale în spaţiul tridimensional cere o a patra culoare.

Apoi ne-am imaginat un cub cu trei culori de suprafaţă diferite în mod analog cu pătratul nostru cu două culori de muchie. Fiecare asemenea cub s-a mişcat printr-un cub de a patra culoare; adică a dispărut în a patra dimensiune sau culoare. În conformitate cu analogia lui Hinton, am făcut ca fiecare cub limită să se mişte prin a patra culoare şi să reapară în cealaltă parte în culoarea sa originală.

figura 31

Acum aş vrea să vă dau o altă analogie. Vom începe din nou prin a reduce trei dimensiuni la două pentru a pregăti reducerea a patru dimensiuni la trei. Trebuie să ne imaginăm construind cubul din şase pătrate, dar în loc de a lăsa toate pătratele ataşate atunci când le desfăşurăm în plan le vom aranja diferit, aşa cum este arătat în figura 31. Aşa cum vedeţi, am împărţit cubul în două sisteme a trei pătrate fiecare. Ambele grupuri sunt aşezate în acelaşi plan. Trebuie să înţelegem unde este aşezat fiecare grup când reasamblăm cubul. Pentru a reface cubul trebuie să plasez un grup deasupra celuilalt aşa încât pătratul 6 să stea deasupra pătratului 5. Odată ce pătratul 5 este în poziţie trebuie să ridic pătratele 1 şi 2, în timp ce pătratele 3 şi 4 trebuie să fie coborâte (figura 32). Atunci, perechile corespunzătoare segmentelor liniare ‒ adică cele de aceeaşi culoare (aici cu acelaşi număr şi fel de liniuţe, aşa cum se vede în figura 31) ‒ vor coincide. Aceste linii care sunt răspândite în spaţiul bidimensional coincid atunci când facem tranziţia spre spaţiul tridimensional.

figura 32

Pătratul constă din patru laturi, cubul din şase pătrate, iar domeniul cvadridimensional ar trebui să fie alcătuit atunci din opt cuburi ( Nota 36 ). Hinton numeşte această figură cvadridimensională tessarakt. Sarcina noastră de a pune aceste opt cuburi împreună într-un singur „cub“ nu este simplă, dar pentru aceasta trebuie să-l facem pe fiecare să treacă prin a patra dimensiune. Când fac cu un tessarakt ceea ce am făcut cu un cub trebuie să respect aceeaşi lege. Trebuie să folosim analogia relaţiei unei figuri tridimensionale cu contrapartea sa bidimensională pentru a descoperi relaţia unei figuri cvadridimensionale cu contrapartea sa tridimensională. În cazul unui cub desfăşurat aveam două grupuri de trei pătrate. În mod similar, prin desfăşurarea unui tessarakt în spaţiul tridimensional rezultă două grupuri a câte patru cuburi care arată ca în figura 33. Metoda celor opt cuburi este foarte ingenioasă.

figura 33

Trebuie să manevrăm cele patru cuburi în spaţiul tridimensional la fel cum am manevrat pătratele în spaţiul bidimensional. Priviţi îndeaproape la ceea ce am făcut aici. Prin desfacerea unui cub în spaţiul bidimensional a rezultat un grup de şase pătrate. Făcând operaţia corespunzătoare cu un tessarakt, rezultă un sistem de opt cuburi (figura 34). Am transferat reflecţiile noastre privitoare la spaţiul tridimensional asupra celui cvadridimensional. Îmbinării pătratelor şi suprapunerii muchiilor în spaţiul tridimensional le corespund îmbinarea cuburilor şi suprapunerea suprafeţelor lor în spaţiul cvadridimensional. Prin desfăşurarea cubului în spaţiul bidimensional au rezultat linii corespondente care s-au suprapus când am reconstruit cubul. Ceva similar se întâmplă cu suprafeţele diferitelor cuburi ale tessarakt-ului. Prin desfăşurarea unui tessarakt în spaţiul tridimensional rezultă suprafeţe corespunzătoare ale cuburilor respective care vor coincide mai târziu. Astfel, într-un tessarakt suprafaţa orizontală superioară a cubului 1 se află în acelaşi plan cu suprafaţa frontală a cubului 5 când ne mişcăm în cea de a patra dimensiune.

figura 34

La fel, suprafaţa dreaptă a cubului 1 coincide cu suprafaţa frontală a cubului 4, suprafaţa stângă a cubului 1 coincide cu suprafaţa frontală a cubului 3 şi suprafaţa inferioară a cubului 1 coincide cu suprafaţa frontală a cubului 6. Corespondenţe similare există şi în cazul celorlalte suprafeţe. Când operaţia este completă cubul care rămâne este cubul 7, cubul interior care era înconjurat de celelalte şase cuburi ( Nota 37 ).

Aşa cum vedeţi, este vorba încă o dată de găsirea analogiilor dintre a treia şi a patra dimensiune. După cum am văzut într-una din figurile din conferinţa precedentă (figura 29), tot aşa cum un al cincilea pătrat înconjurat de alte patru rămâne invizibil pentru cel care poate vedea numai în două dimensiuni, la fel se întâmplă, cu al şaptelea cub în acest caz. El rămâne ascuns vederii tridimensionale. Într-un tessarakt acest al şaptelea cub corespunde cu un al optulea cub, contrapartea sa în cea de a patra dimensiune.

Toate aceste analogii servesc pentru a ne pregăti pentru a patra dimensiune, întrucât nimic din concepţia noastră obişnuită asupra spaţiului nu ne forţează să adăugăm alte dimensiuni la cele familiare nouă. Urmând exemplul lui Hinton, am putea folosi  culori şi gândi cuburile puse laolaltă în aşa fel încât să coincidă culorile corespunzătoare. Altfel decât prin asemenea analogii este aproape imposibil să dăm vreo sugestie despre felul în care trebuie să concepem o figură cvadridimensională.

Aş dori să vorbesc despre un alt fel de reprezentare a corpurilor cvadridimensionale în spaţiul tridimensional care ar putea să vă facă să înţelegeţi mai bine care este de fapt problema. Avem un octaedru care are opt feţe triunghiulare care formează între ele unghiuri obtuze (figura 35).

figura 35

Vă rog să vă imaginaţi această figură şi apoi să urmariţi împreună cu mine următorul şir de gânduri. Vedeţi, aceste muchii sunt intersecţiile dintre două suprafeţe. De exemplu, două se intersectează de-a lungul lui AB şi două de-a lungul lui EB. Singura diferenţă dintre un octaedru şi un cub este unghiul format de două feţe alăturate. Când suprafeţele se intersectează sub unghiuri drepte, aşa cum se întâmplă în cub, figura care se formează trebuie să fie un cub. (Nota traducătorului: se referă probabil la feţe pătrate care se intersectează sub unghiuri drepte pentru că altminteri se poate obţine în cel mai general caz un paralelipiped dreptunghic.) Când ele se intersectează sub unghiuri obtuze, aşa cum se întâmplă aici se formează un octaedru. (Nota traducătorului: cred că este valabilă din nou aceeaşi observaţie, acum fiind vorba însă de suprafeţe triunghiulare.) Făcând ca suprafeţele să se intersecteze sub unghiuri diferite construim alte figuri geometrice ( Nota 38 ).

figura 36

Să ne imaginăm mai departe un mod diferit de a face suprafeţele unui octaedru să se intersecteze. Imaginaţi-vă că una din aceste suprafeţe, cum este AEB, este extinsă în toate direcţiile şi că suprafaţa inferioară, BCF, şi suprafeţele ADF şi EDC, din spatele figurii, sunt extinse în mod similar. Aceste suprafeţe extinse trebuie de asemenea să se intersecteze, şi anume se intersectează potrivit unei duble simetrii. Când aceste suprafeţe sunt extinse celelalte patru suprafeţe originale ale octaedrului, ABF, EBC, EAD şi DCF, sunt eliminate. Din cele opt suprafeţe originale rămân doar patru şi acestea patru formează un tetraedru care poate fi numit, de asemenea, jumătate de octaedru din cauză că jumătate din suprafeţele  octaedrului se intersectează. Nu este jumătate de octaedru în sensul că acesta se taie în două prin mijloc. Când sunt extinse celelalte suprafeţe ale octaedrului până când se intersectează, ele formează, de asemenea, un tetraedru. Octaedrul original este intersecţia acestor două tetraedre. În stereometrie sau în cristalografia geometrică, ceea ce este numit jumătate de figură este mai degrabă rezultatul înjumătăţirii numărului de suprafeţe decât al împărţirii figurii originale în două. Aceasta este foarte uşor de vizualizat în cazul unui octaedru ( Nota 39 ). Dacă vă imaginaţi un cub înjumătăţit în acelaşi fel făcând ca una din suprafeţe să se intersecteze cu o altă suprafaţă, veţi obţine întotdeauna un cub. Jumătate de cub este întotdeauna un alt cub. Din acest fenomen se poate trage o importantă concluzie, dar mai întâi aş dori să folosesc un alt exemplu ( Nota 40 ).

figura 37

Avem un dodecaedru rombic (figura 37). Aşa cum vedeţi, suprafeţele sale se intersectează sub anumite unghiuri. Avem, de asemenea, un sistem de patru fire ‒ le voi numi fire axiale ‒ care se îndreaptă în diferite direcţii, adică sunt diagonale care unesc colţuri opuse ale dodecaedrului rombic. Aceste fire reprezintă sistemul de axe ale dodecaedrului rombic similar cu sistemul de axe pe care vi-l puteţi imagina în cub ( Nota 41 ).

Obtinem un cub atunci când într-un sistem de trei axe perpendiculare se pun în evidenţă suprafeţe de intersectare prin aceea că în fiecare din aceste axe apar stagnări. Făcând ca axele să se intersecteze sub alte unghiuri se obţine o altă formaţiune geometrică. De exemplu, axele unui dodecaedru rombic se intersectează sub unghiuri care nu sunt drepte. Înjumătăţind un cub obţinem tot un cub ( Nota 42 ). Acest lucru este adevărat, însă numai pentru un cub. Atunci când se înjumătăţeşte numărul suprafeţelor unui dodecaedru rombic se obţine, de asemenea, o formaţiune spaţială complet diferită ( Nota 43 ).

figura 38

Şi acum haideţi să observăm cum se raportează un octaedru la un tetraedru. Lăsaţi-mă să vă arăt ce vreau să spun. Relaţia este clar aparentă dacă transformăm treptat un octaedru într-un tetraedru. Pentru acest scop să luăm un tetraedru şi să-i tăiem unul dintre vârfuri, aşa cum se arată în figura 38. Continuăm să tăiem porţiuni din ce în ce mai mari, până când secţiunile se intersectează pe muchiile tetraedrului. Forma care rămâne este un octaedru. Tăind vârfurile sub unghiuri corespunzătoare am transformat o figură spaţială mărginită de patru plane într-o figură cu opt feţe.

figura 39

Ceea ce am făcut cu un tetraedru nu poate fi făcut cu un cub ( Nota 44 ). Un cub are proprietăţi cu totul speciale prin aceea că este contrapartea spaţiului tridimensional. Imaginaţi-vă întregul spaţiu al Universului ca fiind structurat de trei axe perpendiculare una pe cealaltă. Inserarea de plane perpendiculare pe aceste axe produce întotdeauna un cub (figura 39). Din această cauză, ori de câte ori folosim termenul cub pentru a desemna cubul teoretic vorbim despre cub ca fiind contrapartea spaţiului tridimensional. Aşa cum tetraedrul este contrapartea unui octaedru prelungind jumătate din feţele octaedrului până când se intersectează, un cub individual este contrapartea întregului spaţiu ( Nota 45 ). Dacă vă imaginaţi întregul spaţiu ca fiind pozitiv, atunci cubul este negativ. Cubul este polar faţă de întregul spaţiu. Cubul fizic este figura geometrică care corespunde efectiv întregului spaţiu.

Să presupunem că în loc de un spaţiu tridimensional mărginit de plane bidimensionale avem un spaţiu mărginit de şase sfere care sunt figuri tridimensionale. Încep prin a defini un spaţiu bidimensional cu ajutorul a patru cercuri secante, adică figuri bidimensionale. Acum imaginaţi-vă că aceste cercuri devin tot mai mari; adică razele lor cresc tot mereu şi centrele devin tot mai depărtate. Cu timpul, cercurile se vor transforma în linii drepte (figura 40). Atunci în loc de patru cercuri avem patru linii drepte care se întretaie şi un pătrat.

figura 40

Acum, în loc de cercuri, imaginaţi-vă şase sfere formând ceva asemănător cu o mură (figura 41). Imaginaţi-vă că sferele devin tot mai mari, exact ca şi cercurile. În cele din urmă, aceste sfere devin planele care definesc un cub, aşa cum cercurile au devenit liniile care definesc un pătrat. Acest cub este rezultatul a şase sfere care au devenit plate. De aceea cubul este un caz particular al intersecţiei a şase sfere, aşa cum pătratul este un caz special al intersectării a patru cercuri.

desen

Atunci când vă daţi seama clar că aceste şase sfere se aplatizează în plane corespunzând pătratelor pe care le-am folosit mai devreme pentru a defini cubul ‒ adică atunci când vizualizaţi o figură sferică fiind transformată într-una plată ‒ obţineţi cea mai simplă figură spaţială. Un cub poate fi imaginat ca rezultat al aplatizării a şase sfere secante.

Putem spune că un punct de pe un cerc trebuie să treacă prin a doua dimensiune pentru a ajunge la un alt punct de pe cerc. Dar dacă cercul a devenit atât de mare încât formează o linie dreaptă, orice punct de pe cerc poate ajunge la orice alt punct, mişcându-se numai prin prima dimensiune.

Să considerăm un pătrat care este marginit de figuri bidimensionale. Atât timp cât cele patru formaţiuni care definesc pătratul sunt cercuri ele sunt bidimensionale. Odată ce devin linii drepte ele sunt unidimensionale.

Planele care definesc un cub se dezvoltă din figuri tridimensionale (sferele) prin aceea că o dimensiune este înlăturată din fiecare din cele şase sfere. Aceste suprafeţe apar ca fiind dezdoite prin reducerea dimensiunilor lor de la trei la două. Şi-au sacrificat astfel o dimensiune. Ele intră în a doua dimensiune sacrificând dimensiunea adâncimii. Astfel am putea spune că fiecare dimensiune a spaţiului ia naştere prin sacrificarea dimensiunii imediat superioare.

Dacă avem o formă tridimensională cu limite bidimensionale şi astfel reducem formele tridimensionale la două dimensiuni, trebuie să concluzionaţi din aceasta că dacă considerăm spaţiul tridimensional trebuie să gândim la fiecare direcţie ca fiind versiunea plată a unui cerc infinit. Apoi, dacă ne mişcăm într-o direcţie, ne-am întoarce în cele din urmă la punctul iniţial din direcţia opusă. Astfel, fiecare dimensiune obişnuită a spaţiului a apărut prin pierderea dimensiunii superioare următoare. Un sistem triaxial este inerent în spaţiul nostru tridimensional. Fiecare din cele trei axe perpendiculare a sacrificat dimensiunea următoare pentru a deveni dreaptă.

În acest fel obţinem, aşadar, spaţiul tridimensional prin îndreptarea fiecăreia din cele trei direcţii axiale. Inversând procesul, fiecare element al spaţiului poate fi de asemenea curbat din nou. Atunci ar rezulta următorul şir de gânduri: când curbaţi o formaţiune unidimensională figura care rezultă este bidimensională; o formaţiune bidimensională devine tridimensională. Şi, în final, curbând o figură tridimensională se obţine o figură cvadridimensională. Astfel spaţiul cvadridimensonal poate fi imaginat ca spaţiu tridimensional curbat ( Nota 46 ).

În acest punct putem face tranziţia de la neviu la viu. În această curbare puteţi găsi forme spaţiale care revelează această tranziţie de la neviu la viu. La trecerea spre tridimensional, găsim un exemplu special de spaţiu cvadridimensional; el a devenit plat. Pentru conştienţa umană moartea nu este nimic mai mult decât curbarea tridimensionalului în cvadrimensional. În privinţa corpului fizic luat în sine, lucrurile stau invers: moartea este aplatizarea a patru dimensiuni în trei.